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02平面向量★★☆☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 不共线，c=ka+b\boldsymbol{c} = k\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}（k∈Rk \in \mathbf{R}），d=a−b\boldsymbol{d} = \boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}. 如果 c∥d\boldsymbol{c} \parallel \boldsymbol{d}，那么（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 因为 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 不共线，而 c∥d\boldsymbol{c}\parallel\boldsymbol{d}，所以存在实数 λ\lambda 使 ka+b=λ(a−b)k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\lambda(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}). 比较 a\boldsymbol{a} 和 b\boldsymbol{b} 的系数，得 k=λk=\lambda，1=−λ1=-\lambda，从而 k=−1k=-1. 此时 c=−a+b=−(a−b)=−d\boldsymbol{c}=-\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=-(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=-\boldsymbol{d}，所以两向量反向，故选 D. \end{solution}
A.
k=1k = 1 且 c\boldsymbol{c} 与 d\boldsymbol{d} 同向
B.
k=1k = 1 且 c\boldsymbol{c} 与 d\boldsymbol{d} 反向
C.
k=−1k = -1 且 c\boldsymbol{c} 与 d\boldsymbol{d} 同向
D.
k=−1k = -1 且 c\boldsymbol{c} 与 d\boldsymbol{d} 反向

2009 · 北京 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03函数与初等函数★★☆☆☆
为了得到函数 y=lg⁡x+310y = \lg \frac{x + 3}{10} 的图象，只需把函数 y=lg⁡xy = \lg x 的图象上所有的点（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 由对数运算，lg⁡x+310=lg⁡(x+3)−1\lg\dfrac{x+3}{10}=\lg(x+3)-1. 将 y=lg⁡xy=\lg x 的图象向左平移 33 个单位长度得到 y=lg⁡(x+3)y=\lg(x+3)，再向下平移 11 个单位长度得到所求图象，故选 C. \end{solution}
A.
向左平移 33 个单位长度，再向上平移 11 个单位长度
B.
向右平移 33 个单位长度，再向上平移 11 个单位长度
C.
向左平移 33 个单位长度，再向下平移 11 个单位长度
D.
向右平移 33 个单位长度，再向下平移 11 个单位长度

2009 · 北京 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04立体几何初步★★☆☆☆
若正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的底面边长为 11，AB1AB_{1} 与底面 ABCDABCD 成 60∘60^{\circ} 角，则 A1C1A_{1}C_{1} 到底面 ABCDABCD 的距离为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 设正四棱柱的高为 h=BB1h=BB_1. 由于 AB1AB_1 在底面上的射影为 ABAB，且 AB=1AB=1，所以 tan⁡60∘=BB1AB=h\tan 60^\circ=\dfrac{BB_1}{AB}=h，得 h=3h=\sqrt3. 直线 A1C1A_1C_1 平行于底面 ABCDABCD，且位于距底面 hh 的平面内，因此 A1C1A_1C_1 到底面 ABCDABCD 的距离为 3\sqrt3，故选 D. \end{solution}
A.
33\frac{\sqrt{3}}{3}
B.
11
C.
2\sqrt{2}
D.
3\sqrt{3}

2009 · 北京 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05集合与逻辑基础★★☆☆☆
“ α=π6+2kπ\alpha=\frac{\pi}{6}+2k\pi”（k∈Zk\in\mathbf{Z}）是“ cos⁡2α=12\cos2\alpha=\frac{1}{2} ”的（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 若 α=π6+2kπ\alpha=\dfrac\pi6+2k\pi，则 2α=π3+4kπ2\alpha=\dfrac\pi3+4k\pi，从而 cos⁡2α=cos⁡π3=12\cos2\alpha=\cos\dfrac\pi3=\dfrac12，所以前一个条件是后一个条件的充分条件.
反之，若 cos⁡2α=12\cos2\alpha=\dfrac12，则 2α=2nπ±π32\alpha=2n\pi\pm\dfrac\pi3，即 α=nπ±π6\alpha=n\pi\pm\dfrac\pi6（n∈Zn\in\mathbf{Z}）. 这包含不满足 α=π6+2kπ\alpha=\dfrac\pi6+2k\pi 的情形，例如 α=5π6\alpha=\dfrac{5\pi}{6}，故前一个条件不是必要条件. 因此它是充分而不必要条件，故选 A. \end{solution}
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2009 · 北京 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06计数原理与组合数学★★☆☆☆
若 (1+2)5=a+b2\left(1 + \sqrt{2}\right)^5 = a + b\sqrt{2} （aa，bb 为有理数），则 a+b=a + b =（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 利用二项式展开并合并有理项与含 2\sqrt2 的项：(1+2)5=1+52+10⋅2+10⋅22+5⋅4+42=41+292(1+\sqrt2)^5=1+5\sqrt2+10\cdot2+10\cdot2\sqrt2+5\cdot4+4\sqrt2=41+29\sqrt2. 因而 a=41a=41，b=29b=29，所以 a+b=70a+b=70，故选 C. \end{solution}
A.
4545
B.
5555
C.
7070
D.
8080

2009 · 北京 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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09导数及其应用★★☆☆☆
lim⁡x→1xx−xx−1=\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x\sqrt{x} - x}{x - 1} =______.
\begin{answer} 12\frac{1}{2} \end{answer}
\begin{solution} 当 x→1x\to1 时，x⩾0x\geqslant0，且 xx−xx−1=x(x−1)(x−1)(x+1)=xx+1\dfrac{x\sqrt{x}-x}{x-1}=\dfrac{x(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}=\dfrac{x}{\sqrt{x}+1}. 因而原极限为 11+1=12\dfrac{1}{1+1}=\dfrac12. \end{solution}

2009 · 北京 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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10不等式★★☆☆☆
若实数 xx，yy 满足
{x+y−2⩾0,x⩽4,y⩽5.\begin{cases} x + y - 2 \geqslant 0,\\ x \leqslant 4,\\ y \leqslant 5. \end{cases}
则 s=y−xs = y - x 的最小值为______.
\begin{answer} −6-6 \end{answer}
\begin{solution} 由 x+y−2⩾0x+y-2\geqslant0 得 y⩾2−xy\geqslant2-x，所以 s=y−x⩾2−2xs=y-x\geqslant2-2x. 又因 x⩽4x\leqslant4，有 2−2x⩾2−8=−62-2x\geqslant2-8=-6，故 s⩾−6s\geqslant-6.
取 x=4x=4，y=−2y=-2，则三个条件均满足，且 s=y−x=−2−4=−6s=y-x=-2-4=-6. 因此 ss 的最小值为 −6-6. \end{solution}

2009 · 北京 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11导数及其应用★★☆☆☆
设 f(x)f(x) 是偶函数. 若曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线的斜率为 11，则该曲线在 (−1,f(−1))(-1, f(-1)) 处的切线的斜率为______.
\begin{answer} −1-1 \end{answer}
\begin{solution} 偶函数满足 f(−x)=f(x)f(-x)=f(x). 对等式两边求导，得 −f′(−x)=f′(x)-f'(-x)=f'(x). 令 x=1x=1，则 −f′(−1)=f′(1)=1-f'(-1)=f'(1)=1，所以 f′(−1)=−1f'(-1)=-1，即所求切线斜率为 −1-1. \end{solution}

2009 · 北京 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12解析几何★★☆☆☆
椭圆 x29+y22=1\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{2} = 1 的焦点为 F1F_1，F2F_2，点 PP 在椭圆上. 若 ∣PF1∣=4|PF_1| = 4，则 ∣PF2∣=|PF_2| =______；∠F1PF2\angle F_1PF_2 的大小为______.
\begin{answer} 22，120∘120^{\circ} \end{answer}
\begin{solution} 椭圆的长半轴为 a=3a=3，短半轴平方为 b2=2b^2=2，故半焦距满足 c2=a2−b2=7c^2=a^2-b^2=7，从而 ∣F1F2∣=27|F_1F_2|=2\sqrt7. 由椭圆定义，∣PF1∣+∣PF2∣=2a=6|PF_1|+|PF_2|=2a=6，所以 ∣PF2∣=6−4=2|PF_2|=6-4=2.
在 △F1PF2\triangle F_1PF_2 中，由余弦定理，cos⁡∠F1PF2=42+22−(27)22⋅4⋅2=−12\cos\angle F_1PF_2=\dfrac{4^2+2^2-(2\sqrt7)^2}{2\cdot4\cdot2}=-\dfrac12. 因此 ∠F1PF2=120∘\angle F_1PF_2=120^\circ. \end{solution}

2009 · 北京 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13函数与初等函数★★☆☆☆
若函数
f(x)={1x,x<0,(13)x,x⩾0,f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x}, & x < 0,\\ \left(\frac{1}{3}\right)^x, & x \geqslant 0, \end{cases}
则不等式 ∣f(x)∣⩾13|f(x)| \geqslant \frac{1}{3} 的解集为______.
\begin{answer} [−3,1][-3,1] \end{answer}
\begin{solution} 当 x<0x<0 时，f(x)=1x<0f(x)=\dfrac1x<0，故 ∣f(x)∣=−1x|f(x)|=-\dfrac1x. 不等式 −1x⩾13-\dfrac1x\geqslant\dfrac13 在 x<0x<0 下等价于 x⩾−3x\geqslant-3，所得解集为 [−3,0)[-3,0).
当 x⩾0x\geqslant0 时，∣f(x)∣=(13)x|f(x)|=\left(\dfrac13\right)^x. 因为底数 13∈(0,1)\dfrac13\in(0,1)，所以 (13)x⩾(13)1\left(\dfrac13\right)^x\geqslant\left(\dfrac13\right)^1 等价于 x⩽1x\leqslant1，所得解集为 [0,1][0,1]. 合并得解集 [−3,1][-3,1]. \end{solution}

2009 · 北京 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14数列★★☆☆☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 满足：a4n−3=1a_{4n - 3} = 1，a4n−1=0a_{4n - 1} = 0，a2n=ana_{2n} = a_{n}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，则 a2009=a_{2009} =______；a2014=a_{2014} =______.
\begin{answer} 11，00 \end{answer}
\begin{solution} 由 2009=4×503−32009=4\times503-3，代入 a4n−3=1a_{4n-3}=1 得 a2009=1a_{2009}=1. 又由 a2n=ana_{2n}=a_n，有 a2014=a1007a_{2014}=a_{1007}. 因为 1007=4×252−11007=4\times252-1，代入 a4n−1=0a_{4n-1}=0 得 a1007=0a_{1007}=0，所以 a2014=0a_{2014}=0. \end{solution}

2009 · 北京 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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