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01复数★☆☆☆☆
在复平面内，复数 z=i(1+2i)z = \mathrm{i}(1 + 2\mathrm{i}) 对应的点位于（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 将复数化为代数形式，得 z=i(1+2i)=i+2i2=−2+iz=\mathrm{i}(1+2\mathrm{i})=\mathrm{i}+2\mathrm{i}^2=-2+\mathrm{i}. 因而它在复平面内对应的点为 (−2,1)(-2,1)，实部为负、虚部为正，位于第二象限，故选 B. \end{solution}
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限

2009 · 北京 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02平面向量★★☆☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 不共线，c=ka+b\boldsymbol{c} = k\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}（k∈Rk \in \mathbf{R}），d=a−b\boldsymbol{d} = \boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}. 如果 c∥d\boldsymbol{c} \parallel \boldsymbol{d}，那么（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 因为 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 不共线，而 c∥d\boldsymbol{c}\parallel\boldsymbol{d}，所以存在实数 λ\lambda 使 ka+b=λ(a−b)k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\lambda(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}). 比较 a\boldsymbol{a} 和 b\boldsymbol{b} 的系数，得 k=λk=\lambda，1=−λ1=-\lambda，从而 k=−1k=-1. 此时 c=−a+b=−(a−b)=−d\boldsymbol{c}=-\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=-(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=-\boldsymbol{d}，所以两向量反向，故选 D. \end{solution}
A.
k=1k = 1 且 c\boldsymbol{c} 与 d\boldsymbol{d} 同向
B.
k=1k = 1 且 c\boldsymbol{c} 与 d\boldsymbol{d} 反向
C.
k=−1k = -1 且 c\boldsymbol{c} 与 d\boldsymbol{d} 同向
D.
k=−1k = -1 且 c\boldsymbol{c} 与 d\boldsymbol{d} 反向

2009 · 北京 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03函数与初等函数★★☆☆☆
为了得到函数 y=lg⁡x+310y = \lg \frac{x + 3}{10} 的图象，只需把函数 y=lg⁡xy = \lg x 的图象上所有的点（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 由对数运算，lg⁡x+310=lg⁡(x+3)−1\lg\dfrac{x+3}{10}=\lg(x+3)-1. 将 y=lg⁡xy=\lg x 的图象向左平移 33 个单位长度得到 y=lg⁡(x+3)y=\lg(x+3)，再向下平移 11 个单位长度得到所求图象，故选 C. \end{solution}
A.
向左平移 33 个单位长度，再向上平移 11 个单位长度
B.
向右平移 33 个单位长度，再向上平移 11 个单位长度
C.
向左平移 33 个单位长度，再向下平移 11 个单位长度
D.
向右平移 33 个单位长度，再向下平移 11 个单位长度

2009 · 北京 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04立体几何初步★★☆☆☆
若正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的底面边长为 11，AB1AB_{1} 与底面 ABCDABCD 成 60∘60^{\circ} 角，则 A1C1A_{1}C_{1} 到底面 ABCDABCD 的距离为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 设正四棱柱的高为 h=BB1h=BB_1. 由于 AB1AB_1 在底面上的射影为 ABAB，且 AB=1AB=1，所以 tan⁡60∘=BB1AB=h\tan 60^\circ=\dfrac{BB_1}{AB}=h，得 h=3h=\sqrt3. 直线 A1C1A_1C_1 平行于底面 ABCDABCD，且位于距底面 hh 的平面内，因此 A1C1A_1C_1 到底面 ABCDABCD 的距离为 3\sqrt3，故选 D. \end{solution}
A.
33\frac{\sqrt{3}}{3}
B.
11
C.
2\sqrt{2}
D.
3\sqrt{3}

2009 · 北京 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05集合与逻辑基础★★☆☆☆
“ α=π6+2kπ\alpha=\frac{\pi}{6}+2k\pi”（k∈Zk\in\mathbf{Z}）是“ cos⁡2α=12\cos2\alpha=\frac{1}{2} ”的（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 若 α=π6+2kπ\alpha=\dfrac\pi6+2k\pi，则 2α=π3+4kπ2\alpha=\dfrac\pi3+4k\pi，从而 cos⁡2α=cos⁡π3=12\cos2\alpha=\cos\dfrac\pi3=\dfrac12，所以前一个条件是后一个条件的充分条件.
反之，若 cos⁡2α=12\cos2\alpha=\dfrac12，则 2α=2nπ±π32\alpha=2n\pi\pm\dfrac\pi3，即 α=nπ±π6\alpha=n\pi\pm\dfrac\pi6（n∈Zn\in\mathbf{Z}）. 这包含不满足 α=π6+2kπ\alpha=\dfrac\pi6+2k\pi 的情形，例如 α=5π6\alpha=\dfrac{5\pi}{6}，故前一个条件不是必要条件. 因此它是充分而不必要条件，故选 A. \end{solution}
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2009 · 北京 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06计数原理与组合数学★★☆☆☆
若 (1+2)5=a+b2\left(1 + \sqrt{2}\right)^5 = a + b\sqrt{2} （aa，bb 为有理数），则 a+b=a + b =（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 利用二项式展开并合并有理项与含 2\sqrt2 的项：(1+2)5=1+52+10⋅2+10⋅22+5⋅4+42=41+292(1+\sqrt2)^5=1+5\sqrt2+10\cdot2+10\cdot2\sqrt2+5\cdot4+4\sqrt2=41+29\sqrt2. 因而 a=41a=41，b=29b=29，所以 a+b=70a+b=70，故选 C. \end{solution}
A.
4545
B.
5555
C.
7070
D.
8080

2009 · 北京 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07计数原理与组合数学★★★☆☆
用 00 到 99 这 1010 个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 按个位数字分类. 当个位为 00 时，百位有 99 种选法，十位从剩余数字中有 88 种选法，共有 9×8=729\times8=72 个.
当个位为 22，44，66，88 时，个位有 44 种选法；百位不能为 00，且不能与个位重复，有 88 种选法；十位从剩余数字中有 88 种选法，共有 4×8×8=2564\times8\times8=256 个. 因此总数为 72+256=32872+256=328，故选 B. \end{solution}
A.
324324
B.
328328
C.
360360
D.
648648

2009 · 北京 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08解析几何★★★★☆
点 PP 在直线 l:y=x−1l: y = x - 1 上，若存在过 PP 的直线交抛物线 y=x2y = x^2 于 AA，BB 两点，且 ∣PA∣=∣AB∣|PA| = |AB|，则称点 PP 为“AA 点”，那么下列结论中正确的是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 任取直线 ll 上的点 P=(p,p−1)P=(p,p-1). 在抛物线 y=x2y=x^2 上取 A=(m,m2)A=(m,m^2)，并令 B=2A−PB=2A-P，则 AA 是线段 PBPB 的中点，从而 PP，AA，BB 共线且 ∣PA∣=∣AB∣|PA|=|AB|.
只需使 BB 在抛物线上. 由 B=(2m−p,2m2−p+1)B=(2m-p,2m^2-p+1)，条件为 2m2−p+1=(2m−p)22m^2-p+1=(2m-p)^2，即 2m2−4pm+p2+p−1=02m^2-4pm+p^2+p-1=0. 这是关于 mm 的二次方程，其判别式为 Δ=(−4p)2−8(p2+p−1)=8(p2−p+1)>0\Delta=(-4p)^2-8(p^2+p-1)=8(p^2-p+1)>0，所以对任意实数 pp 都有实数解 mm. 此时 BB 在抛物线上. 若 A=BA=B，则 P=AP=A，从而 p2−p+1=0p^2-p+1=0，但该方程的判别式为 −3<0-3<0，矛盾，故 A≠BA\ne B. 因此每个 P∈lP\in l 都是“AA 点”，故选 A. \end{solution}
A.
直线 ll 上的所有点都是“AA 点”
B.
直线 ll 上仅有有限个点是“AA 点”
C.
直线 ll 上的所有点都不是“AA 点”
D.
直线 ll 上有无穷多个点（但不是所有的点）是“AA 点”

2009 · 北京 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09导数及其应用★★☆☆☆
lim⁡x→1xx−xx−1=\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x\sqrt{x} - x}{x - 1} =______.
\begin{answer} 12\frac{1}{2} \end{answer}
\begin{solution} 当 x→1x\to1 时，x⩾0x\geqslant0，且 xx−xx−1=x(x−1)(x−1)(x+1)=xx+1\dfrac{x\sqrt{x}-x}{x-1}=\dfrac{x(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}=\dfrac{x}{\sqrt{x}+1}. 因而原极限为 11+1=12\dfrac{1}{1+1}=\dfrac12. \end{solution}

2009 · 北京 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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10不等式★★☆☆☆
若实数 xx，yy 满足
{x+y−2⩾0,x⩽4,y⩽5.\begin{cases} x + y - 2 \geqslant 0,\\ x \leqslant 4,\\ y \leqslant 5. \end{cases}
则 s=y−xs = y - x 的最小值为______.
\begin{answer} −6-6 \end{answer}
\begin{solution} 由 x+y−2⩾0x+y-2\geqslant0 得 y⩾2−xy\geqslant2-x，所以 s=y−x⩾2−2xs=y-x\geqslant2-2x. 又因 x⩽4x\leqslant4，有 2−2x⩾2−8=−62-2x\geqslant2-8=-6，故 s⩾−6s\geqslant-6.
取 x=4x=4，y=−2y=-2，则三个条件均满足，且 s=y−x=−2−4=−6s=y-x=-2-4=-6. 因此 ss 的最小值为 −6-6. \end{solution}

2009 · 北京 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11导数及其应用★★☆☆☆
设 f(x)f(x) 是偶函数. 若曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线的斜率为 11，则该曲线在 (−1,f(−1))(-1, f(-1)) 处的切线的斜率为______.
\begin{answer} −1-1 \end{answer}
\begin{solution} 偶函数满足 f(−x)=f(x)f(-x)=f(x). 对等式两边求导，得 −f′(−x)=f′(x)-f'(-x)=f'(x). 令 x=1x=1，则 −f′(−1)=f′(1)=1-f'(-1)=f'(1)=1，所以 f′(−1)=−1f'(-1)=-1，即所求切线斜率为 −1-1. \end{solution}

2009 · 北京 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12解析几何★★☆☆☆
椭圆 x29+y22=1\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{2} = 1 的焦点为 F1F_1，F2F_2，点 PP 在椭圆上. 若 ∣PF1∣=4|PF_1| = 4，则 ∣PF2∣=|PF_2| =______；∠F1PF2\angle F_1PF_2 的大小为______.
\begin{answer} 22，120∘120^{\circ} \end{answer}
\begin{solution} 椭圆的长半轴为 a=3a=3，短半轴平方为 b2=2b^2=2，故半焦距满足 c2=a2−b2=7c^2=a^2-b^2=7，从而 ∣F1F2∣=27|F_1F_2|=2\sqrt7. 由椭圆定义，∣PF1∣+∣PF2∣=2a=6|PF_1|+|PF_2|=2a=6，所以 ∣PF2∣=6−4=2|PF_2|=6-4=2.
在 △F1PF2\triangle F_1PF_2 中，由余弦定理，cos⁡∠F1PF2=42+22−(27)22⋅4⋅2=−12\cos\angle F_1PF_2=\dfrac{4^2+2^2-(2\sqrt7)^2}{2\cdot4\cdot2}=-\dfrac12. 因此 ∠F1PF2=120∘\angle F_1PF_2=120^\circ. \end{solution}

2009 · 北京 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13函数与初等函数★★☆☆☆
若函数
f(x)={1x,x<0,(13)x,x⩾0,f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x}, & x < 0,\\ \left(\frac{1}{3}\right)^x, & x \geqslant 0, \end{cases}
则不等式 ∣f(x)∣⩾13|f(x)| \geqslant \frac{1}{3} 的解集为______.
\begin{answer} [−3,1][-3,1] \end{answer}
\begin{solution} 当 x<0x<0 时，f(x)=1x<0f(x)=\dfrac1x<0，故 ∣f(x)∣=−1x|f(x)|=-\dfrac1x. 不等式 −1x⩾13-\dfrac1x\geqslant\dfrac13 在 x<0x<0 下等价于 x⩾−3x\geqslant-3，所得解集为 [−3,0)[-3,0).
当 x⩾0x\geqslant0 时，∣f(x)∣=(13)x|f(x)|=\left(\dfrac13\right)^x. 因为底数 13∈(0,1)\dfrac13\in(0,1)，所以 (13)x⩾(13)1\left(\dfrac13\right)^x\geqslant\left(\dfrac13\right)^1 等价于 x⩽1x\leqslant1，所得解集为 [0,1][0,1]. 合并得解集 [−3,1][-3,1]. \end{solution}

2009 · 北京 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14数列★★☆☆☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 满足：a4n−3=1a_{4n - 3} = 1，a4n−1=0a_{4n - 1} = 0，a2n=ana_{2n} = a_{n}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，则 a2009=a_{2009} =______；a2014=a_{2014} =______.
\begin{answer} 11，00 \end{answer}
\begin{solution} 由 2009=4×503−32009=4\times503-3，代入 a4n−3=1a_{4n-3}=1 得 a2009=1a_{2009}=1. 又由 a2n=ana_{2n}=a_n，有 a2014=a1007a_{2014}=a_{1007}. 因为 1007=4×252−11007=4\times252-1，代入 a4n−1=0a_{4n-1}=0 得 a1007=0a_{1007}=0，所以 a2014=0a_{2014}=0. \end{solution}

2009 · 北京 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，B=π3B = \frac{\pi}{3}，cos⁡A=45\cos A = \frac{4}{5}，b=3b = \sqrt{3}.
(1) 求 sin⁡C\sin C 的值； (2) 求 △ABC\triangle ABC 的面积.

2009 · 北京 · 理 · 第 15 题 · 解答题

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16立体几何初步★★★★☆
如图，在三棱锥 P−ABCP-ABC 中，PA⊥PA \perp 底面 ABCABC，PA=ABPA = AB，∠ABC=60∘\angle ABC = 60^\circ，∠BCA=90∘\angle BCA = 90^\circ，点 DD，EE 分别在棱 PBPB，PCPC 上，且 DE∥BCDE \parallel BC.
(1) 求证：BC⊥BC \perp 平面 PACPAC； (2) 当 DD 为 PBPB 的中点时，求 ADAD 与平面 PACPAC 所成的角的大小； (3) 是否存在点 EE 使得二面角 A−DE−PA - DE - P 为直二面角？ 并说明理由.

2009 · 北京 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
某学生在上学路上要经过 44 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 13\frac{1}{3}，遇到红灯时停留的时间都是 2 min2 \mathrm{~min}.
(1) 求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； (2) 求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 ξ\xi 的分布列及期望.

2009 · 北京 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=xekxf(x) = x\mathrm{e}^{kx} （k≠0k \neq 0）.
(1) 求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (0,f(0))(0, f(0)) 处的切线方程； (2) 求函数 f(x)f(x) 的单调区间； (3) 若函数 f(x)f(x) 在区间 (−1,1)(-1,1) 内单调递增，求 kk 的取值范围.

2009 · 北京 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 （a>0a > 0，b>0b > 0）的离心率为 3\sqrt{3}，右准线方程为 x=33x = \frac{\sqrt{3}}{3}.
(1) 求双曲线 CC 的方程； (2) 设直线 ll 是圆 O:x2+y2=2O: x^{2} + y^{2} = 2 上动点 P(x0,y0)P(x_{0}, y_{0})（x0y0≠0x_{0} y_{0} \neq 0）处的切线，ll 与双曲线 CC 交于不同的两点 AA，BB，证明 ∠AOB\angle AOB 的大小为定值.

2009 · 北京 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20集合与逻辑基础★★★★★
已知数集 A={a1,a2,⋯ ,an}A = \{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\} （1⩽a1<a2<⋯<an1 \leqslant a_{1} < a_{2} < \cdots < a_{n}，n⩾2n \geqslant 2）具有性质 PP：对任意的 ii，jj （1⩽i⩽j⩽n1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n），aiaja_{i} a_{j} 与 ajai\frac{a_{j}}{a_{i}} 两数中至少有一个属于 AA.
(1) 分别判断集数 {1,3,4}\{1, 3, 4\} 与 {1,2,3,6}\{1, 2, 3, 6\} 是否具有性质 PP，并说明理由； (2) 证明：a1=1a_{1}=1，且 a1+a2+⋯+ana1−1+a2−1+⋯+an−1=an\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{a_{1}^{-1}+a_{2}^{-1}+\cdots+a_{n}^{-1}}=a_{n}； (3) 证明：当 n=5n = 5 时，a1a_1，a2a_2，a3a_3，a4a_4，a5a_5 成等比数列.

2009 · 北京 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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