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13指数函数与对数函数★★☆☆☆
音高 yy（单位：mel）与频率 ff（单位：Hz）满足 y=lg⁡(1+f700)y=\lg \left( 1+\frac{f}{700} \right)，若 lg⁡2≤y<3lg⁡2\lg 2\le y<3\lg 2，则 ff 的取值范围为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2026 · 北京 · 第 13 题 · 填空题

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06指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=∣ln⁡x∣f(x)=|\ln x|，若 a=f(20.3)a=f\left( 2^{0.3} \right)，b=f(30.3)b=f\left( 3^{0.3} \right)，c=f(3−0.5)c=f\left( 3^{-0.5} \right)，则 aa，bb，cc 的大小关系为（ ）
A.
a<b<ca<b<c
B.
b<a<cb<a<c
C.
c<b<ac<b<a
D.
c<a<bc<a<b

2026 · 天津 · 第 6 题 · 选择题

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09指数函数与对数函数★★☆☆☆
在一定条件下，某大模型训练 NN 个单位的数据量所需时间 T=klog⁡2NT=k\log_2 N（单位：小时）. 已知数据量从 10610^6 增加到 1.024×1091.024\times10^9 时增加 2020 小时；当数据量从 1.024×1091.024\times10^9 增加到 4.096×1094.096\times10^9 时，训练时间增加（ ）
A.
2
B.
4
C.
20
D.
40

2025 · 北京 · 第 9 题 · 选择题

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14指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 a>0a>0 且 a≠1a\ne1，s∈Rs\in\mathbf{R}，下列各项中，能推出 as>aa^s>a 的是（ ）
A.
a>1a>1 且 s>0s>0
B.
a>1a>1 且 s<0s<0
C.
0<a<10<a<1 且 s>0s>0
D.
0<a<10<a<1 且 s<0s<0

2025 · 上海 · 第 14 题 · 选择题

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15指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 a>1a>1，1log⁡8a−1log⁡a4=−52\dfrac{1}{\log_8 a}-\dfrac{1}{\log_a 4}=-\dfrac{5}{2}，则 a=a=______.

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 a>1a>1 且 1log⁡8a−1log⁡a4=−52\dfrac1{\log_8a}-\dfrac1{\log_a4}=-\dfrac52，则 a=a=______.

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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07指数函数与对数函数★★☆☆☆
生物丰富度指数 d=S−1ln⁡Nd=\frac{S-1}{\ln N} 是河流水质的一个评价指标，其中 SS，NN 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数. 生物丰富度指数 dd 越大，水质越好. 如果某河流治理前后的生物种类数 SS 没有变化，生物个体总数由 N1N_1 变为 N2N_2，生物丰富度指数由 2.12.1 提高到 3.153.15，则（ ）
A.
3N2=2N13N_2=2N_1
B.
2N2=3N12N_2=3N_1
C.
N22=N13N_2^2=N_1^3
D.
N23=N12N_2^3=N_1^2

2024 · 北京 · 第 7 题 · 选择题

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04函数与初等函数★★☆☆☆
已知 f(x)=xexeax−1f(x)=\frac{x \mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^{ax}-1}，若 f(x)f(x) 为偶函数，则 a=a=（ ）
A.
−2-2
B.
−1-1
C.
11
D.
22

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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04函数与初等函数★★☆☆☆
下列函数中，在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 上单调递增的是（ ）
A.
f(x)=−ln⁡xf(x)=-\ln x
B.
f(x)=12xf(x)=\dfrac{1}{2^x}
C.
f(x)=−1xf(x)=-\dfrac{1}{x}
D.
f(x)=3∣x−1∣f(x)=3^{|x-1|}

2023 · 北京 · 第 4 题 · 选择题

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03指数函数与对数函数★★☆☆☆
若 a=1.010.5a=1.01^{0.5}，b=1.010.6b=1.01^{0.6}，c=0.60.5c=0.6^{0.5}，则 aa，bb，cc 的大小关系为（ ）
A.
c>a>bc>a>b
B.
c>b>ac>b>a
C.
a>b>ca>b>c
D.
b>a>cb>a>c

2023 · 天津 · 第 3 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=2−x+1f(x)=2^{-x}+1，且
g(x)={log⁡2(x+1),x≥0,f(−x),x<0,g(x)= \begin{cases} \log_2(x+1), &x\ge 0,\\ f(-x), &x<0, \end{cases}
则方程 g(x)=2g(x)=2 的解为______ .

2023 · 上海 · 春季 · 第 9 题 · 填空题

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05函数与初等函数★★☆☆☆
函数 y=(3x−3−x)cos⁡xy=\left( 3^x-3^{-x} \right)\cos x 在区间 [−π2,π2]\left[ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right] 的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.

2022 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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04指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=11+2xf(x)=\dfrac{1}{1+2^x}，则对任意实数 xx，有（ ）.
A.
f(−x)+f(x)=0f(-x)+f(x)=0
B.
f(−x)−f(x)=0f(-x)-f(x)=0
C.
f(−x)+f(x)=1f(-x)+f(x)=1
D.
f(−x)−f(x)=13f(-x)-f(x)=\frac13

2022 · 北京 · 第 4 题 · 选择题

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07函数与初等函数★★☆☆☆
在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献. 如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与 TT 和 lg⁡P\lg P 的关系，其中 TT 表示温度，单位是 K\mathrm{K}；PP 表示压强，单位是 bar\mathrm{bar}. 下列结论中正确的是（ ）.
A.
当 T=220T=220，P=1026P=1026 时，二氧化碳处于液态
B.
当 T=270T=270，P=128P=128 时，二氧化碳处于气态
C.
当 T=300T=300，P=9987P=9987 时，二氧化碳处于超临界状态
D.
当 T=360T=360，P=729P=729 时，二氧化碳处于超临界状态

2022 · 北京 · 第 7 题 · 选择题

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06指数函数与对数函数★★☆☆☆
化简 (2log⁡43+log⁡83)(log⁡32+log⁡92)=\left(2\log_4 3+\log_8 3\right)\left(\log_3 2+\log_9 2\right)=（ ）
A.
1
B.
54\dfrac{5}{4}
C.
2
D.
52\dfrac{5}{2}

2022 · 天津 · 第 6 题 · 选择题

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07指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 2a=52^a=5，log⁡83=b\log_8 3=b，则 4a−3b=4^{a-3b}=（ ）
A.
2525
B.
55
C.
259\dfrac{25}{9}
D.
53\dfrac{5}{3}

2022 · 浙江 · 第 7 题 · 选择题

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06指数函数与对数函数★★☆☆☆
青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量. 通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据 LL 和小数记录法的数据 VV 满足 L=5+lg⁡VL=5+\lg V. 已知某同学视力的五分记录法的数据为 4.94.9，则其视力的小数记录法的数据约为（ ）（1010≈1.259\sqrt[10]{10}\approx 1.259）
A.
1.51.5
B.
1.21.2
C.
0.80.8
D.
0.60.6

2021 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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05指数函数与对数函数★★☆☆☆
设 a=log⁡20.3a=\log_{2}0.3，b=log⁡120.4b=\log_{\frac{1}{2}}0.4，c=0.40.3c=0.4^{0.3}，则 aa，bb，cc 的大小关系为（ ）
A.
a<b<ca<b<c
B.
c<a<bc<a<b
C.
b<c<ab<c<a
D.
a<c<ba<c<b

2021 · 天津 · 第 5 题 · 选择题

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07指数函数与对数函数★★☆☆☆
若 2a=5b=102^a=5^b=10，则 1a+1b=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=（ ）
A.
−1-1
B.
lg⁡7\lg 7
C.
11
D.
log⁡710\log_{7}10

2021 · 天津 · 第 7 题 · 选择题

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065分函数与初等函数★★☆☆☆
基本再生数 R0R_0 与世代间隔 TT 是新冠肺炎的流行病学基本参数. 基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间. 在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)=ertI(t)=\mathrm{e}^{rt} 描述累计感染病例数 I(t)I(t) 随时间 tt（单位：天）的变化规律，指数增长率 rr 与 R0R_0，TT 近似满足 R0=1+rTR_0=1+rT. 有学者基于已有数据估计出 R0=3.28R_0=3.28，T=6T=6. 据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为（ln⁡2≈0.69\ln 2\approx 0.69）（ ）
A.
1.21.2 天
B.
1.81.8 天
C.
2.52.5 天
D.
3.53.5 天

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 6 题 · 选择题

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06指数函数与对数函数★★☆☆☆
设 a=30.7a=3^{0.7}，b=(13)−0.8b=\left( \dfrac13 \right)^{-0.8}，c=log⁡0.70.8c=\log_{0.7}0.8，则 aa，bb，cc 的大小关系为（ ）
A.
a<b<ca<b<c
B.
b<a<cb<a<c
C.
b<c<ab<c<a
D.
c<a<bc<a<b

2020 · 天津 · 第 6 题 · 选择题

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13指数函数与对数函数★★☆☆☆
计算 lim⁡n→∞3n+5n3n−1+5n−1=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{3^n+5^n}{3^{n-1}+5^{n-1}}=（ ）.
A.
33
B.
53\dfrac{5}{3}
C.
35\dfrac{3}{5}
D.
55

2020 · 上海 · 春季 · 第 13 题 · 选择题

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03指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 a=log⁡20.2a=\log_{2}0.2，b=20.2b=2^{0.2}，c=0.20.3c=0.2^{0.3}，则（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
a<b<ca<b<c
B.
a<c<ba<c<b
C.
c<a<bc<a<b
D.
b<c<ab<c<a

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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03指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 a=log⁡20.2a=\log_2 0.2，b=20.2b=2^{0.2}，c=0.20.3c=0.2^{0.3}，则（ ）
A.
a<b<ca<b<c
B.
a<c<ba<c<b
C.
c<a<bc<a<b
D.
b<c<ab<c<a

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04指数函数与对数函数★★☆☆☆
2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就. 实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系. 为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 L2L_2 点的轨道运行. L2L_2 点是平衡点，位于地月连线的延长线上. 设地球质量为 M1M_1，月球质量为 M2M_2，地月距离为 RR，L2L_2 点到月球的距离为 rr，根据牛顿运动定律和万有引力定律，rr 满足方程：M1(R+r)2+M2r2=(R+r)M1R3\dfrac{M_1}{(R+r)^2}+\dfrac{M_2}{r^2}=(R+r)\dfrac{M_1}{R^3}.
设 α=rR\alpha=\dfrac rR. 由于 α\alpha 的值很小，因此在近似计算中 3α3+3α4+α5(1+α)2≈3α3\dfrac{3\alpha^3+3\alpha^4+\alpha^5}{(1+\alpha)^2}\approx 3\alpha^3，则 rr 的近似值为（ ）
A.
RM2M1R\sqrt{\dfrac{M_2}{M_1}}
B.
RM22M1R\sqrt{\dfrac{M_2}{2M_1}}
C.
R3M2M13R\sqrt[3]{\dfrac{3M_2}{M_1}}
D.
RM23M13R\sqrt[3]{\dfrac{M_2}{3M_1}}

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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