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13指数函数与对数函数★★☆☆☆
音高 yy（单位：mel）与频率 ff（单位：Hz）满足 y=lg⁡(1+f700)y=\lg \left( 1+\frac{f}{700} \right)，若 lg⁡2≤y<3lg⁡2\lg 2\le y<3\lg 2，则 ff 的取值范围为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2026 · 北京 · 第 13 题 · 填空题

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09指数函数与对数函数★★☆☆☆
在一定条件下，某大模型训练 NN 个单位的数据量所需时间 T=klog⁡2NT=k\log_2 N（单位：小时）. 已知数据量从 10610^6 增加到 1.024×1091.024\times10^9 时增加 2020 小时；当数据量从 1.024×1091.024\times10^9 增加到 4.096×1094.096\times10^9 时，训练时间增加（ ）
A.
2
B.
4
C.
20
D.
40

2025 · 北京 · 第 9 题 · 选择题

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07指数函数与对数函数★★☆☆☆
生物丰富度指数 d=S−1ln⁡Nd=\frac{S-1}{\ln N} 是河流水质的一个评价指标，其中 SS，NN 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数. 生物丰富度指数 dd 越大，水质越好. 如果某河流治理前后的生物种类数 SS 没有变化，生物个体总数由 N1N_1 变为 N2N_2，生物丰富度指数由 2.12.1 提高到 3.153.15，则（ ）
A.
3N2=2N13N_2=2N_1
B.
2N2=3N12N_2=3N_1
C.
N22=N13N_2^2=N_1^3
D.
N23=N12N_2^3=N_1^2

2024 · 北京 · 第 7 题 · 选择题

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04函数与初等函数★★☆☆☆
下列函数中，在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 上单调递增的是（ ）
A.
f(x)=−ln⁡xf(x)=-\ln x
B.
f(x)=12xf(x)=\dfrac{1}{2^x}
C.
f(x)=−1xf(x)=-\dfrac{1}{x}
D.
f(x)=3∣x−1∣f(x)=3^{|x-1|}

2023 · 北京 · 第 4 题 · 选择题

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04指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=11+2xf(x)=\dfrac{1}{1+2^x}，则对任意实数 xx，有（ ）.
A.
f(−x)+f(x)=0f(-x)+f(x)=0
B.
f(−x)−f(x)=0f(-x)-f(x)=0
C.
f(−x)+f(x)=1f(-x)+f(x)=1
D.
f(−x)−f(x)=13f(-x)-f(x)=\frac13

2022 · 北京 · 第 4 题 · 选择题

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07函数与初等函数★★☆☆☆
在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献. 如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与 TT 和 lg⁡P\lg P 的关系，其中 TT 表示温度，单位是 K\mathrm{K}；PP 表示压强，单位是 bar\mathrm{bar}. 下列结论中正确的是（ ）.
A.
当 T=220T=220，P=1026P=1026 时，二氧化碳处于液态
B.
当 T=270T=270，P=128P=128 时，二氧化碳处于气态
C.
当 T=300T=300，P=9987P=9987 时，二氧化碳处于超临界状态
D.
当 T=360T=360，P=729P=729 时，二氧化碳处于超临界状态

2022 · 北京 · 第 7 题 · 选择题

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06指数函数与对数函数★★☆☆☆
在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述. 两颗星的星等与亮度满足 m2−m1=52lg⁡E1E2m_2-m_1=\dfrac52\lg\dfrac{E_1}{E_2}，其中星等为 mkm_k 的星的亮度为 EkE_k（k=1k=1，22）. 已知太阳的星等是 −26.7-26.7，天狼星的星等是 −1.45-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）.
A.
1010.110^{10.1}
B.
10.110.1
C.
lg⁡10.1\lg10.1
D.
10−10.110^{-10.1}

2019 · 北京 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07指数函数与对数函数★★☆☆☆
在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述. 两颗星的星等与亮度满足 m2−m1=52lg⁡E1E2m_2-m_1=\dfrac52\lg\dfrac{E_1}{E_2}，其中星等为 mkm_k 的星的亮度为 EkE_k（k=1k=1，22）. 已知太阳的星等是 −26.7-26.7，天狼星的星等是 −1.45-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）.
A.
1010.110^{10.1}
B.
10.110.1
C.
lg⁡10.1\lg 10.1
D.
10−10.110^{-10.1}

2019 · 北京 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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05函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=3x−(13)xf(x)=3^x-\left(\dfrac13\right)^x，则 f(x)f(x)（ ）
A.
是奇函数，且在 R\mathbf{R} 上是增函数
B.
是偶函数，且在 R\mathbf{R} 上是增函数
C.
是奇函数，且在 R\mathbf{R} 上是减函数
D.
是偶函数，且在 R\mathbf{R} 上是减函数

2017 · 北京 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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08指数函数与对数函数★★☆☆☆
根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 MM 约为 33613^{361}，而可观测宇宙中普通物质的原子总数 NN 约为 108010^{80}，则下列各数中与 MN\dfrac{M}{N} 最接近的是（ ）
（参考数据：lg⁡3≈0.48\lg 3\approx 0.48）
A.
103310^{33}
B.
105310^{53}
C.
107310^{73}
D.
109310^{93}

2017 · 北京 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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05指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=3x−(13)xf(x)=3^x-\left(\dfrac13\right)^x，则 f(x)f(x)（ ）.
A.
是偶函数，且在 R\mathbf{R} 上是增函数
B.
是奇函数，且在 R\mathbf{R} 上是增函数
C.
是偶函数，且在 R\mathbf{R} 上是减函数
D.
是奇函数，且在 R\mathbf{R} 上是减函数

2017 · 北京 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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08指数函数与对数函数★★☆☆☆
根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 MM 约为 33613^{361}，而可观测宇宙中普通物质的原子总数 NN 约为 108010^{80}. 则下列各数中与 MN\dfrac{M}{N} 最接近的是（ ）.
（参考数据：lg⁡3≈0.48\lg 3\approx0.48）
A.
103310^{33}
B.
105310^{53}
C.
107310^{73}
D.
109310^{93}

2017 · 北京 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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02函数与初等函数★★☆☆☆
下列函数中，在区间 (0,+∞)(0, +\infty) 上为增函数的是（ ）
A.
y=x+1y = \sqrt{x + 1}
B.
y=(x−1)2y = (x - 1)^{2}
C.
y=2−xy = 2^{-x}
D.
y=log⁡0.5(x+1)y = \log_{0.5}(x + 1)

2014 · 北京 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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04指数函数与对数函数★★☆☆☆
执行如图所示的程序框图，则输出的 SS 值为（ ）
A.
11
B.
33
C.
77
D.
1515

2014 · 北京 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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12指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=lg⁡xf(x) = \lg x. 若 f(ab)=1f(ab) = 1，则 f(a2)+f(b2)=f(a^2) + f(b^2)=______.

2012 · 北京 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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03指数函数与对数函数★★☆☆☆
如果 log⁡12x<log⁡12y<0\log_{\frac{1}{2}} x < \log_{\frac{1}{2}} y < 0，那么（ ）
A.
y<x<1y < x < 1
B.
x<y<1x < y < 1
C.
1<x<y1 < x < y
D.
1<y<x1 < y < x

2011 · 北京 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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06函数与初等函数★★☆☆☆
给定函数：
① y=x2y = x^{2} ② y=log⁡12(x+1)y = \log_{\frac{1}{2}}(x + 1) ③ y=∣x−1∣y = |x - 1| ④ y=2x+1y = 2^{x + 1}
其中在区间 (0,1)(0, 1) 上单调递减的函数序号是（ ）
A.
①②
B.
②③
C.
③④
D.
①④

2010 · 北京 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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03函数与初等函数★★☆☆☆
为了得到函数 y=lg⁡x+310y = \lg \frac{x + 3}{10} 的图象，只需把函数 y=lg⁡xy = \lg x 的图象上所有的点（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 由对数运算，lg⁡x+310=lg⁡(x+3)−1\lg\dfrac{x+3}{10}=\lg(x+3)-1. 将 y=lg⁡xy=\lg x 的图象向左平移 33 个单位长度得到 y=lg⁡(x+3)y=\lg(x+3)，再向下平移 11 个单位长度得到所求图象，故选 C. \end{solution}
A.
向左平移 33 个单位长度，再向上平移 11 个单位长度
B.
向右平移 33 个单位长度，再向上平移 11 个单位长度
C.
向左平移 33 个单位长度，再向下平移 11 个单位长度
D.
向右平移 33 个单位长度，再向下平移 11 个单位长度

2009 · 北京 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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13函数与初等函数★★☆☆☆
若函数
f(x)={1x,x<0,(13)x,x⩾0,f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x}, & x < 0,\\ \left(\frac{1}{3}\right)^x, & x \geqslant 0, \end{cases}
则不等式 ∣f(x)∣⩾13|f(x)| \geqslant \frac{1}{3} 的解集为______.
\begin{answer} [−3,1][-3,1] \end{answer}
\begin{solution} 当 x<0x<0 时，f(x)=1x<0f(x)=\dfrac1x<0，故 ∣f(x)∣=−1x|f(x)|=-\dfrac1x. 不等式 −1x⩾13-\dfrac1x\geqslant\dfrac13 在 x<0x<0 下等价于 x⩾−3x\geqslant-3，所得解集为 [−3,0)[-3,0).
当 x⩾0x\geqslant0 时，∣f(x)∣=(13)x|f(x)|=\left(\dfrac13\right)^x. 因为底数 13∈(0,1)\dfrac13\in(0,1)，所以 (13)x⩾(13)1\left(\dfrac13\right)^x\geqslant\left(\dfrac13\right)^1 等价于 x⩽1x\leqslant1，所得解集为 [0,1][0,1]. 合并得解集 [−3,1][-3,1]. \end{solution}

2009 · 北京 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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04函数与初等函数★★☆☆☆
为了得到函数 y=lg⁡x+310y = \lg \frac{x + 3}{10} 的图象，只需把函数 y=lg⁡xy = \lg x 的图象上所有的点（ ）
A.
向左平移 33 个单位长度，再向上平移 11 个单位长度
B.
向右平移 33 个单位长度，再向上平移 11 个单位长度
C.
向左平移 33 个单位长度，再向下平移 11 个单位长度
D.
向右平移 33 个单位长度，再向下平移 11 个单位长度

2009 · 北京 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数
f(x)={3x,x⩽1,−x,x>1.f(x) = \begin{cases} 3^x, & x \leqslant 1,\\ -x, & x > 1. \end{cases}
若 f(x)=2f(x) = 2，则 x=x =______.

2009 · 北京 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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02指数函数与对数函数★★☆☆☆
若 a=20.5a = 2^{0.5}，b=log⁡π3b = \log_{\pi} 3，c=log⁡2sin⁡2π5c = \log_2 \sin \frac{2\pi}{5}，则（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 因为 1<3<π1<3<\pi，且对数的底数 π>1\pi>1，所以 0<b=log⁡π3<10<b=\log_{\pi}3<1. 又因为 a=2>1a=\sqrt{2}>1，且 0<sin⁡2π5<10<\sin\frac{2\pi}{5}<1，故 c=log⁡2sin⁡2π5<0c=\log_2\sin\frac{2\pi}{5}<0. 因此 a>b>ca>b>c，故选 A. \end{solution}
A.
a>b>ca > b > c
B.
b>a>cb > a > c
C.
c>a>bc > a > b
D.
b>c>ab > c > a

2008 · 北京 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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05不等式★★☆☆☆
若实数 xx，yy 满足
{x−y+1⩾0,x+y⩾0,x⩽0,\begin{cases} x - y + 1 \geqslant 0,\\ x + y \geqslant 0,\\ x \leqslant 0, \end{cases}
则 z=3x+2yz = 3^{x + 2y} 的最小值是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 由约束条件得 y⩽x+1y\leqslant x+1，y⩾−xy\geqslant-x，且 x⩽0x\leqslant0. 可行的 xx 还需满足 −x⩽x+1-x\leqslant x+1，所以 −12⩽x⩽0-\frac12\leqslant x\leqslant0. 因为 3t3^t 在 R\mathbf{R} 上递增，先求 x+2yx+2y 的最小值. 对固定的 xx，取最小的 y=−xy=-x，于是 x+2y=−x⩾0x+2y=-x\geqslant0，且在 x=0x=0 时取得最小值 00. 因此 zmin⁡=30=1z_{\min}=3^0=1，故选 B. \end{solution}
A.
00
B.
11
C.
3\sqrt{3}
D.
99

2008 · 北京 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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02指数函数与对数函数★★☆☆☆
若 a=log⁡3π<b=log⁡76a = \log_3 \pi < b = \log_7 6，c=log⁡20.8c = \log_2 0.8，则（ ）
A.
a>b>ca > b > c
B.
b>a>cb > a > c
C.
c>a>bc > a > b
D.
b>c>ab > c > a

2008 · 北京 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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11指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=ax−4a+3f(x) = a^x - 4a + 3 的反函数的图象经过点 (−1,2)(-1,2)，那么 aa 的值等于______.

2006 · 北京 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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