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06平面向量★★☆☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a−b∣=2\left| \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} \right|=2，a=(2,0)\boldsymbol{a}=\left( 2,0 \right)，则 ∣b∣\left| \boldsymbol{b} \right| 的最大值为（ ）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4

2026 · 北京 · 第 6 题 · 选择题

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05平面向量★★☆☆☆
设 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 是向量，则“(a+b)⋅(a−b)=0\left( \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} \right)\cdot\left( \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} \right)=0”是“a=−b\boldsymbol{a}=-\boldsymbol{b} 或 a=b\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}”的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2024 · 北京 · 第 5 题 · 选择题

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03平面向量★★☆☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 a+b=(2,3)\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(2,3)，a−b=(−2,1)\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(-2,1)，则 ∣a∣2−∣b∣2=|\boldsymbol{a}|^2-|\boldsymbol{b}|^2=（ ）
A.
−2-2
B.
−1-1
C.
0
D.
1

2023 · 北京 · 第 3 题 · 选择题

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13平面向量★★☆☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为 11，则 (a+b)⋅c=(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}=______；a⋅b=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=______.

2021 · 北京 · 第 13 题 · 填空题

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13平面向量★★☆☆☆
已知正方形 ABCDABCD 的边长为 22，点 PP 满足 AP→=12(AB→+AC→)\overrightarrow{AP}=\dfrac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)，则 ∣PD→∣=‾\left|\overrightarrow{PD}\right|=\underline{\hspace{2em}}；PB→⋅PD→=‾\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PD}=\underline{\hspace{2em}}.

2020 · 北京 · 第 13 题 · 填空题

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07平面向量★★☆☆☆
设点 AA，BB，CC 不共线，则“AB→\overrightarrow{AB} 与 AC→\overrightarrow{AC} 的夹角是锐角”是“∣AB→+AC→∣>∣BC→∣\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|>\left|\overrightarrow{BC}\right|”的（ ）.
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2019 · 北京 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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12平面向量★★☆☆☆
已知点 PP 在圆 x2+y2=1x^2+y^2=1 上，点 AA 的坐标为 (−2,0)(-2,0)，OO 为原点，则 AO→⋅AP→\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AP} 的最大值为______.

2017 · 北京 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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04平面向量★★☆☆☆
设 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 是向量，则“∣a∣=∣b∣|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|”是“∣a+b∣=∣a−b∣|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|”的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2016 · 北京 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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13平面向量★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，点 MM，NN 满足 AM→=2MC→\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MC}，BN→=NC→\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{NC}. 若 MN→=xAB→+yAC→\overrightarrow{MN} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AC}，则 x=x =______；y=y =______.
\begin{answer} x=12x=\dfrac{1}{2}，y=−16y=-\dfrac{1}{6} \end{answer}
\begin{solution} 由 AM→=2MC→\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MC}，得 AM→=23AC→\overrightarrow{AM}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}. 又由 BN→=NC→\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{NC}，得 NN 是 BCBC 的中点. 以 AA 为起点，用 AB→\overrightarrow{AB}、AC→\overrightarrow{AC} 表示位置向量，则 AM→=23AC→\overrightarrow{AM}=\frac23\overrightarrow{AC}，AN→=AB→+12BC→=12AB→+12AC→\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{BC} =\frac12\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{AC}. 于是
MN→=AN→−AM→=12AB→−16AC→\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM} =\frac12\overrightarrow{AB}-\frac16\overrightarrow{AC}
故 x=12x=\dfrac12，y=−16y=-\dfrac16. \end{solution}

2015 · 北京 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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06平面向量★★☆☆☆
设 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 是非零向量，“a⋅b=∣a∣∣b∣\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}| |\boldsymbol{b}|”是“a∥b\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b}”的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2015 · 北京 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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13平面向量★★☆☆☆
向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 在正方形网格中的位置如图所示，若 c=λa+μb\boldsymbol{c} = \lambda \boldsymbol{a} + \mu \boldsymbol{b}（λ\lambda，μ∈R\mu \in \mathbf{R}），则 λμ=\frac{\lambda}{\mu} =______.

2013 · 北京 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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13平面向量★★☆☆☆
已知正方形 ABCDABCD 的边长为 1，点 EE 是 ABAB 边上的动点，则 DE→⋅CB→\overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{CB} 的值为______；DE→⋅DC→\overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{DC} 的最大值为______.

2012 · 北京 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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13平面向量★★☆☆☆
已知正方形 ABCDABCD 的边长为 11，点 EE 是 ABAB 边上的动点，则 DE→⋅CB→\overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{CB} 的值为______；DE→⋅DC→\overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{DC} 的最大值为______.

2012 · 北京 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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04平面向量★★☆☆☆
若 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 是非零向量，且 a⊥b\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}，∣a∣≠∣b∣|\boldsymbol{a}| \neq |\boldsymbol{b}|，则函数 f(x)=(xa+b)⋅(xb−a)f(x) = (x\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \cdot (x\boldsymbol{b} - \boldsymbol{a}) 是（ ）
A.
一次函数且是奇函数
B.
一次函数但不是奇函数
C.
二次函数且是偶函数
D.
二次函数但不是偶函数

2010 · 北京 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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02平面向量★★☆☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 不共线，c=ka+b\boldsymbol{c} = k\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}（k∈Rk \in \mathbf{R}），d=a−b\boldsymbol{d} = \boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}. 如果 c∥d\boldsymbol{c} \parallel \boldsymbol{d}，那么（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 因为 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 不共线，而 c∥d\boldsymbol{c}\parallel\boldsymbol{d}，所以存在实数 λ\lambda 使 ka+b=λ(a−b)k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\lambda(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}). 比较 a\boldsymbol{a} 和 b\boldsymbol{b} 的系数，得 k=λk=\lambda，1=−λ1=-\lambda，从而 k=−1k=-1. 此时 c=−a+b=−(a−b)=−d\boldsymbol{c}=-\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=-(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=-\boldsymbol{d}，所以两向量反向，故选 D. \end{solution}
A.
k=1k = 1 且 c\boldsymbol{c} 与 d\boldsymbol{d} 同向
B.
k=1k = 1 且 c\boldsymbol{c} 与 d\boldsymbol{d} 反向
C.
k=−1k = -1 且 c\boldsymbol{c} 与 d\boldsymbol{d} 同向
D.
k=−1k = -1 且 c\boldsymbol{c} 与 d\boldsymbol{d} 反向

2009 · 北京 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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02平面向量★★☆☆☆
已知向量 a=(1,0)\boldsymbol{a} = (1,0)，b=(0,1)\boldsymbol{b} = (0,1)，c=ka+b\boldsymbol{c} = k\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}（k∈Rk \in \mathbf{R}），d=a−b\boldsymbol{d} = \boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}，如果 c∥d\boldsymbol{c} \parallel \boldsymbol{d}，那么（ ）
A.
k=1k = 1 且 c\boldsymbol{c} 与 d\boldsymbol{d} 同向
B.
k=1k = 1 且 c\boldsymbol{c} 与 d\boldsymbol{d} 反向
C.
k=−1k = -1 且 c\boldsymbol{c} 与 d\boldsymbol{d} 同向
D.
k=−1k = -1 且 c\boldsymbol{c} 与 d\boldsymbol{d} 反向

2009 · 北京 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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10平面向量★★☆☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为 120∘120^{\circ}，且 ∣a∣=∣b∣=4|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = 4，那么 b⋅(2a+b)\boldsymbol{b} \cdot (2\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) 的值为______.
\begin{answer} 00 \end{answer}
\begin{solution} 由向量夹角公式，a⋅b=∣a∣∣b∣cos⁡120∘=4⋅4⋅(−12)=−8\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos120^{\circ}=4\cdot4\cdot\left(-\frac12\right)=-8. 因此 b⋅(2a+b)=2a⋅b+b⋅b=2(−8)+42=0\boldsymbol{b}\cdot(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{b}=2(-8)+4^2=0，故填 00. \end{solution}

2008 · 北京 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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04平面向量★★☆☆☆
已知 OO 是 △ABC\triangle ABC 所在平面内一点，DD 为 BCBC 边中点，且 2OA→+OB→+OC→=02\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 0，那么（ ）
A.
AO→=OD→\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{OD}
B.
AC→=2OD→\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{OD}
C.
AC→=3OD→\overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{OD}
D.
2AO→=OD→2\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{OD}

2007 · 北京 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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02平面向量★★☆☆☆
若 a\boldsymbol{a} 与 b−c\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c} 都是非零向量，则“a⋅b=a⋅c\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}”是“a⊥(b−c)\boldsymbol{a}\perp(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})”的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2006 · 北京 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03平面向量★★☆☆☆
若 a\boldsymbol{a} 与 b−c\boldsymbol{b} - \boldsymbol{c} 都是非零向量，则“a⋅b=a⋅c\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}”是“a⊥(b−c)\boldsymbol{a} \perp (\boldsymbol{b} - \boldsymbol{c})”的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2006 · 北京 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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12平面向量★★☆☆☆
已知向量 a=(cos⁡α,sin⁡α)\boldsymbol{a} = (\cos \alpha, \sin \alpha)，b=(cos⁡β,sin⁡β)\boldsymbol{b} = (\cos \beta, \sin \beta)，且 a≠±b\boldsymbol{a} \neq \pm \boldsymbol{b}，那么 a+b\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} 与 a−b\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} 的夹角的大小是______.

2006 · 北京 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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