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09集合与逻辑基础★★★☆☆
下列各小题中，pp 是 qq 的充要条件的是（ ）
① pp：m<2m < 2 或 m>6m > 6；qq：y=x2+mx+m+3y = x^{2} + mx + m + 3 有两个不同的零点. ② pp：f(−x)f(x)=1\frac{f(-x)}{f(x)} = 1；qq：y=f(x)y = f(x) 是偶函数. ③ pp：cos⁡α=cos⁡β\cos \alpha = \cos \beta；qq：tan⁡α=tan⁡β\tan \alpha = \tan \beta. ④ pp：A∩B=AA \cap B = A；qq：∁UB⊆∁UA\complement_U B \subseteq \complement_U A.
\begin{answer}D\end{answer}
\begin{solution} 对第1小题，二次函数有两个不同的零点的充要条件是
Δ=m2−4(m+3)>0\Delta=m^2-4(m+3)>0
即 (m−6)(m+2)>0(m-6)(m+2)>0，所以 qq 等价于 m<−2m<-2 或 m>6m>6. 原始文件第1小题的 pp 印为 m<2m<2 或 m>6m>6. 按这一字面条件，q⇒pq\Rightarrow p，但取 m=0m=0 时 pp 成立而 Δ=−12<0\Delta=-12<0，故 p⇏qp\not\Rightarrow q，第1小题并非充要条件；公开同题版本将此处记为 m<−2m<-2 或 m>6m>6 时，第1小题才成立.
第2小题中，若 pp 成立，则分式有意义且等于 11，从而 f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)，所以 p⇒qp\Rightarrow q. 但 q⇏pq\not\Rightarrow p：例如 f(x)=x2f(x)=x^2 是偶函数，而 x=0x=0 时 f(−x)f(x)\frac{f(-x)}{f(x)} 无意义，故第2小题不是充要条件. 第3小题也不等价：取 α=π3\alpha=\frac{\pi}{3}，β=−π3\beta=-\frac{\pi}{3}，有 cos⁡α=cos⁡β\cos\alpha=\cos\beta，但 tan⁡α≠tan⁡β\tan\alpha\neq\tan\beta. 另一方面取 α=0\alpha=0，β=π\beta=\pi，有 tan⁡α=tan⁡β\tan\alpha=\tan\beta，但 cos⁡α≠cos⁡β\cos\alpha\neq\cos\beta.
第4小题中，
A∩B=A⟺A⊆BA\cap B=A\Longleftrightarrow A\subseteq B
由补集的性质，
∁UB⊆∁UA⟺A⊆B\complement_U B\subseteq\complement_U A\Longleftrightarrow A\subseteq B
所以第4小题成立. 因而按公开同题版本的更正条件，成立的小题为第1和第4小题，答案为 D；但本卷原始文件清晰页第1小题印为 m<2m<2 或 m>6m>6，按该字面条件仅第4小题成立，四个选项均不成立，题面、答案和公开同题资料存在印刷冲突，详见来源记录. \end{solution}
A.
①②
B.
②③
C.
③④
D.
①④

2007 · 山东 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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11平面向量★★★☆☆
在直角 △ABC\triangle ABC 中，CDCD 是斜边 ABAB 上的高，则下列等式不成立的是（ ）
\begin{answer}C\end{answer}
\begin{solution} 因为 △ABC\triangle ABC 在 CC 处为直角，故 AC→⊥BC→\overrightarrow{AC}\perp\overrightarrow{BC}，且 AB→=AC→+CB→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}、BA→=BC→+CA→\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}. 因此 AC→⋅AB→=∣AC→∣2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{AC}|^2，BA→⋅BC→=∣BC→∣2\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{BC}|^2. 所以选项 A、B 成立.
令 u=∣AC∣>0u=|AC|>0、v=∣BC∣>0v=|BC|>0，取坐标 C=(0,0)C=(0,0)、A=(u,0)A=(u,0)、B=(0,v)B=(0,v). 斜边 ABAB 的方程为 xu+yv=1\frac{x}{u}+\frac{y}{v}=1，从 CC 向其作垂线所得垂足为
D(uv2u2+v2,u2vu2+v2)D\left(\frac{uv^2}{u^2+v^2},\frac{u^2v}{u^2+v^2}\right)
因此
AC→⋅CD→=(−u,0)⋅CD→=−u2v2u2+v2<0\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CD} =(-u,0)\cdot\overrightarrow{CD} =-\frac{u^2v^2}{u^2+v^2}<0
而 ∣AB→∣2=u2+v2>0|\overrightarrow{AB}|^2=u^2+v^2>0，故选项 C 不成立. 又由直角三角形面积相等，
∣CD∣=uvu2+v2|CD|=\frac{uv}{\sqrt{u^2+v^2}}
从而
∣CD→∣2=u2v2u2+v2=(AC→⋅AB→)(BA→⋅BC→)∣AB→∣2|\overrightarrow{CD}|^2=\frac{u^2v^2}{u^2+v^2}=\frac{\left(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}\right)\left(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}\right)}{|\overrightarrow{AB}|^2}
选项 D 成立. 故选 C. \end{solution}
A.
∣AC→∣2=AC→⋅AB→\left|\overrightarrow{AC}\right|^2 = \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB}
B.
∣BC→∣2=BA→⋅BC→|\overrightarrow{BC}|^2 = \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}
C.
∣AB→∣2=AC→⋅CD→|\overrightarrow{AB}|^2 = \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CD}
D.
∣CD→∣2=(AC→⋅AB→)×(BA→⋅BC→)∣AB→∣2\left|\overrightarrow{CD}\right|^{2}=\frac{\left(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}\right)\times\left(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}\right)}{\left|\overrightarrow{AB}\right|^{2}}

2007 · 山东 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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14不等式★★★☆☆
设 DD 是不等式组
{x+2y⩽10,2x+y⩾3,0⩽x⩽4,y⩾1\begin{cases} x + 2y \leqslant 10,\\ 2x + y \geqslant 3,\\ 0 \leqslant x \leqslant 4,\\ y \geqslant 1 \end{cases}
表示的平面区域，则 DD 中的点 P(x,y)P(x, y) 到直线 x+y=10x + y = 10 距离的最大值是______.
\begin{answer}424\sqrt{2}\end{answer}
\begin{solution} 由 x⩾0x\geqslant0、y⩾1y\geqslant1 及 2x+y⩾32x+y\geqslant3，分两段估计 x+yx+y：当 0⩽x⩽10\leqslant x\leqslant1 时，y⩾3−2xy\geqslant3-2x，故 x+y⩾3−x⩾2x+y\geqslant3-x\geqslant2；当 x⩾1x\geqslant1 时，x+y⩾x+1⩾2x+y\geqslant x+1\geqslant2. 点 (1,1)(1,1) 满足全部约束，所以 x+yx+y 的最小值为 22.
另一方面，由 x+2y⩽10x+2y\leqslant10 和 y⩾1y\geqslant1 得 x+y⩽10−y⩽9<10x+y\leqslant10-y\leqslant9<10. 因此区域内点到直线 x+y=10x+y=10 的距离为
d=10−x−y2d=\frac{10-x-y}{\sqrt{2}}
其最大值在 x+y=2x+y=2 时取得，故
dmax⁡=10−22=42d_{\max}=\frac{10-2}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}
\end{solution}

2007 · 山东 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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16指数函数与对数函数★★★☆☆
函数 y=log⁡a(x+3)−1y = \log_a(x + 3) - 1（a>0a > 0，a≠1a \neq 1）的图象恒过定点 AA，若点 AA 在直线 mx+ny+1=0mx + ny + 1 = 0 上，其中 mn>0mn > 0，则 1m+2n\frac{1}{m} + \frac{2}{n} 的最小值为______.
\begin{answer}88\end{answer}
\begin{solution} 令 x+3=1x+3=1，则 x=−2x=-2，且对任意允许的底数 aa，都有 y=log⁡a1−1=−1y=\log_a1-1=-1. 所以定点为 A(−2,−1)A(-2,-1). 代入直线方程得 −2m−n+1=0-2m-n+1=0，2m+n=12m+n=1. 由 mn>0mn>0 及 2m+n=1>02m+n=1>0，可知 m>0m>0，n>0n>0. 令 u=2mu=2m，则 u>0u>0、n>0n>0 且 u+n=1u+n=1. 因此
1m+2n=2u+2n=2(1u+1n)=2(u+n)un=2un\frac{1}{m}+\frac{2}{n}=\frac{2}{u}+\frac{2}{n}=2\left(\frac{1}{u}+\frac{1}{n}\right)=\frac{2(u+n)}{un}=\frac{2}{un}
由 u+n=1u+n=1 得 un⩽14un\leqslant\frac{1}{4}，所以
1m+2n⩾8\frac{1}{m}+\frac{2}{n}\geqslant8
当 u=n=12u=n=\frac{1}{2}，即 m=14m=\frac{1}{4}，n=12n=\frac{1}{2} 时取等号，故最小值为 88. \end{solution}

2007 · 山东 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17数列★★★☆☆
设数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a1+3a2+32a3+⋯+3n−1an=n3a_1 + 3a_2 + 3^2 a_3 + \dots + 3^{n-1} a_n = \frac{n}{3}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项； (2) 设 bn=nanb_{n}=\frac{n}{a_{n}}，求数列 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项和 SnS_{n}.

2007 · 山东 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
设 bb 和 cc 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数. 用随机变量 ξ\xi 表示方程 x2+bx+c=0x^{2} + bx + c = 0 实根的个数（重根按一个计）.
(1) 求方程 x2+bx+c=0x^{2} + bx + c = 0 有实根的概率； (2) 求 ξ\xi 的分布列和数学期望； (3) 求在先后两次出现的点数中有 55 的条件下，方程 x2+bx+c=0x^{2} + bx + c = 0 有实根的概率.

2007 · 山东 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，在直四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，已知 DC=DD1=2AD=2ABDC = DD_{1} = 2AD = 2AB，AD⊥DCAD \perp DC，AB∥DCAB \parallel DC.
(1) 设 EE 是线段 DCDC 的中点，求证：D1E∥D_{1}E \parallel 平面 A1BDA_{1}BD； (2) 求二面角 A1−BD−C1A_{1}-BD-C_{1} 的余弦值.

2007 · 山东 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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