某加工厂用某原料由甲车间加工出 $A$ 产品，由乙车间加工出 $B$ 产品. 甲车间加工一箱原料需耗费 $10\text{ 小时}$ 可加工出 $7\text{ 千克}$ $A$ 产品，每千克 $A$ 产品获利 $40\text{ 元}$. 乙车间加工一箱原料需耗费 $6\text{ 小时}$ 可加工出 $4\text{ 千克}$ $B$ 产品，每千克 $B$ 产品获利 $50\text{ 元}$. 甲，乙两车间每天共能完成至多 $70\text{ 箱}$ 原料的加工，每天甲，乙两车间耗费工时总和不得超过 $480\text{ 小时}$，甲，乙两车间每天总获利最大的生产计划为（ ）

如图，二面角 $\alpha - l - \beta$ 的大小是 $60^{\circ}$，$AB \subset \alpha$，$B \in l$，$AB$ 与 $l$ 所成的角为 $30^{\circ}$，则 $AB$ 与平面 $\beta$ 所成角的正弦值是______.

设 $S$ 为复数集 $\mathbf{C}$ 的非空子集. 若对任意 $x$，$y \in S$，都有 $x + y$，$x - y$，$xy \in S$，则称 $S$ 为封闭集. 下列命题：

① 集合 $S = \{a + b\mathrm{i} \mid a, b\text{ 为整数}, \mathrm{i}\text{ 为虚数单位}\}$ 为封闭集； ② 若 $S$ 为封闭集，则一定有 $0 \in S$； ③ 封闭集一定是无限集； ④ 若 $S$ 为封闭集，则满足 $S \subseteq T \subseteq \mathbf{C}$ 的任意集合 $T$ 也是封闭集.

其中真命题是______. （写出所有真命题的序号）

某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为 $\frac{1}{6}$，甲，乙，丙三位同学每人购买了一瓶该饮料.

(1) 求甲中奖且乙，丙都没有中奖的概率； (2) 求中奖人数 $\xi$ 的分布列及数学期望 $E_{\xi}$.

(1) (i) 证明两角和的余弦公式 $C_{\alpha+\beta}$：$\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$； (ii) 由 $C_{\alpha+\beta}$ 推导两角和的正弦公式 $S_{\alpha+\beta}$：$\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$. (2) 已知 $\triangle ABC$ 的面积 $S = \frac{1}{2}$，$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 3$，且 $\cos B = \frac{3}{5}$，求 $\cos C$.