已知函数
f(x)=2x+12x−1.
(1) 证明：
f(x) 在
(−∞,+∞) 上是增函数；
(2) 证明：对于任意不小于
3 的自然数
n，都有
f(n)>n+1n.
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item 设
x2>x1，则
2x2>2x1>0. 因而
f(x2)−f(x1)=2x2+12x2−1−2x1+12x1−1=(2x2+1)(2x1+1)2(2x2−2x1)>0. 所以
f(x) 在
(−∞,+∞) 上是增函数.
\item 因为
2n+1>0 且
n+1>0，不等式
f(n)>n+1n 等价于
(n+1)(2n−1)>n(2n+1)，即
2n>2n+1. 当
n=3 时，
23=8>7=2⋅3+1. 若对某个
n⩾3 有
2n>2n+1，则
2n+1>4n+2>2n+3=2(n+1)+1. 由数学归纳法，任意不小于
3 的自然数
n 都满足
2n>2n+1，从而
f(n)>n+1n.
\end{enumerate}
\end{solution}
