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12复数★★★☆☆
把复数 1+i1+\mathrm{i} 对应的向量按顺时针方向旋转 2π3\frac{2\pi}{3}，所得到的向量对应的复数是（ ）
A.
1−32+−1+32i\frac{1-\sqrt{3}}{2}+\frac{-1+\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}
B.
1−32+−1−32i\frac{1-\sqrt{3}}{2}+\frac{-1-\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}
C.
−1+32+−1−32i\frac{-1+\sqrt{3}}{2}+\frac{-1-\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}
D.
−1+32+1−32i\frac{-1+\sqrt{3}}{2}+\frac{1-\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}

1990 · 广东 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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18三角函数★★★☆☆
已知下图（图 4-6-6）是 y=2sin⁡(ωx+φ)y=2\sin(\omega x+\varphi)（∣φ∣<π2\left|\varphi\right|<\frac{\pi}{2}）的图象，那么（ ）
A.
ω=2, φ=−π6\omega=2,\ \varphi=-\frac{\pi}{6}
B.
ω=2\omega=2， φ=π6\ \varphi=\frac{\pi}{6}
C.
ω=1011\omega=\frac{10}{11}， φ=π6\ \varphi=\frac{\pi}{6}
D.
ω=1011\omega=\frac{10}{11}， φ=−π6\ \varphi=-\frac{\pi}{6}

1990 · 广东 · 文 · 第 18 题 · 选择题

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23三角函数★★★☆☆
函数 y=tan⁡x2−1sin⁡xy=\tan\frac{x}{2}-\frac{1}{\sin x} 的最小正周期是（ ）
A.
π2\frac{\pi}{2}
B.
π\pi
C.
3π2\frac{3\pi}{2}
D.
2π2\pi

1990 · 广东 · 文 · 第 23 题 · 选择题

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24计数原理与组合数学★★★☆☆
以一个三棱柱的顶点为顶点的四面体共有（ ）
A.
3030 个
B.
1818 个
C.
1212 个
D.
66 个

1990 · 广东 · 文 · 第 24 题 · 选择题

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25解析几何★★★☆☆
如果实数 xx，yy 满足等式 (x−2)2+y2=3(x-2)^2+y^2=3，那么 yx\frac{y}{x} 的最大值是（ ）
A.
12\frac{1}{2}
B.
33\frac{\sqrt{3}}{3}
C.
32\frac{\sqrt{3}}{2}
D.
3\sqrt{3}

1990 · 广东 · 文 · 第 25 题 · 选择题

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27计数原理与组合数学★★★☆☆
(x−1)−(x−1)2+(x−1)3−(x−1)4(x-1)-(x-1)^2+(x-1)^3-(x-1)^4 的展开式中，x2x^2 的系数等于______.

1990 · 广东 · 文 · 第 27 题 · 填空题

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29立体几何初步★★★☆☆
如果三棱锥每条侧棱长都是 aa，且每两条侧棱所成的角都是 60∘60^\circ，那么这个三棱锥的高的长度是______.

1990 · 广东 · 文 · 第 29 题 · 填空题

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32立体几何初步★★★☆☆
如图，在三棱锥 S−ABCS-ABC 中，SA⊥SA\perp 底面 ABCABC，AB⊥BCAB\perp BC，DEDE 垂直平分 SCSC，且分别交 ACAC，SCSC 于 DD，EE，又 SA=AB=aSA=AB=a，BC=2aBC=\sqrt{2}a.
(1) 求证：SC⊥SC\perp 面 BDEBDE； (2) 求面 BDEBDE 与面 BDCBDC 所成的二面角的大小.

1990 · 广东 · 文 · 第 32 题 · 解答题

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33解析几何★★★☆☆
已知椭圆的焦点为 F1(−1,0)F_1(-1,0) 和 F2(1,0)F_2(1,0)，直线 x=4x=4 是椭圆的一条准线.
(1) 求椭圆的方程； (2) 又设点 PP 在椭圆上，且 ∣PF1∣−∣PF2∣=1\left| PF_1 \right|-\left| PF_2 \right|=1，求 cos⁡∠F1PF2\cos\angle F_1PF_2 的值.

1990 · 广东 · 文 · 第 33 题 · 解答题

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34数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和的公式 Sn=π12(2n2+n)S_n=\frac{\pi}{12}(2n^2+n).
(1) 求证 {an}\{a_n\} 是等差数列，并求出它的首项的公差； (2) 记 bn=sin⁡an⋅sin⁡an+1⋅sin⁡an+2b_n=\sin a_n\cdot \sin a_{n+1}\cdot \sin a_{n+2}，求证：对任何自然数 nn，都有 bn=28(−1)n−1b_n=\frac{\sqrt{2}}{8}(-1)^{n-1}.

1990 · 广东 · 文 · 第 34 题 · 解答题

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