某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

（ ）

\begin{answer} D \end{answer} \begin{solution} 由三视图可还原出一个直四棱柱，其底面是高为 $4$、上底为 $2$、下底为 $8$ 的等腰梯形，棱柱的高为 $10$. 梯形两腰的水平投影均为 所以腰长为 底面梯形面积为 四个侧面的面积和为 因此几何体的表面积为 选 D. \end{solution}

已知函数 $f(x) = ax^3 + b\sin x + 4$ （$a$，$b \in \mathbf{R}$），$f(\lg (\log_2 10)) = 5$，则 $f(\lg (\lg 2)) =$（ ）

\begin{answer} C \end{answer} \begin{solution} 令 由于 $\log_2 10=\frac{1}{\lg2}$，有 函数中的 $ax^3$ 和 $b\sin x$ 都是奇函数，常数项为 $4$，所以对任意 $x$ 有 题设给出 $f(t)=5$，而所求量为 $f(\lg(\lg2))=f(-t)$，故 所以选 C. \end{solution}

设 $0 \leqslant \alpha \leqslant \pi$，不等式 $8x^{2} - (8\sin \alpha)x + \cos 2\alpha \geqslant 0$ 对 $x \in \mathbf{R}$ 恒成立，则 $\alpha$ 的取值范围为______. \begin{answer} $\left[0,\frac{\pi}{6}\right]\cup\left[\frac{5\pi}{6},\pi\right]$ \end{answer} \begin{solution} 关于 $x$ 的二次式首项系数 $8>0$，要对任意实数 $x$ 非负，充要条件是判别式不大于零，即 化简得 利用 $\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha$，得到 $4\sin^2\alpha-1\leqslant0$，$|\sin\alpha|\leqslant\frac12$. 在 $0\leqslant\alpha\leqslant\pi$ 上，$\sin\alpha\geqslant0$，所以 \end{solution}

如图，四棱锥 $P - ABCD$ 中，$PA \perp$ 底面 $ABCD$，$PA = 2\sqrt{3}$，$BC = CD = 2$，$\angle ACB = \angle ACD = \frac{\pi}{3}$.

(1) 求证： $BD \perp$ 平面 PAC； (2) 若侧棱 $PC$ 上的点 $F$ 满足 $PF = 7FC$，求三棱锥 $P - BDF$ 的体积.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 在等腰三角形 $BCD$ 中，$BC=CD$，且 $AC$ 平分顶角 $\angle BCD$，所以 又因为 $PA\perp$ 底面 $ABCD$，而 $BD$ 在底面内，所以 $BD\perp PA$. 直线 $AC$ 与 $PA$ 都在平面 $PAC$ 内，且相交于 $A$. 因为 $BD$ 垂直于这两条相交直线，所以 $BD\perp$ 平面 $PAC$. \item 建立空间直角坐标系：取 $C$ 为原点，$x$ 轴沿 $CA$，$y$ 轴沿底面内垂直于 $CA$ 的方向，$z$ 轴沿 $AP$. 设 $AC=m$，则可取 $C=(0,0,0)$，$A=(m,0,0)$，$B=(1,\sqrt3,0)$，$D=(1,-\sqrt3,0)$，$P=(m,0,2\sqrt3)$. 其中 $B$，$D$ 的坐标来自 $BC=CD=2$ 及 $\angle ACB=\angle ACD=\frac\pi3$.

由 $PF=7FC$，得 $PF:PC=7:8$，所以 于是 故三棱锥 $P-BDF$ 的体积为 $\frac74$. \end{enumerate} \end{solution}

某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）. 设该蓄水池的底面半径为 $r\text{ 米}$，高为 $h\text{ 米}$，体积为 $V\text{ 立方米}$. 假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为 $100\text{ 元/平方米}$，底面的建造成本为 $160\text{ 元/平方米}$，该蓄水池的总建造成本为 $12000\pi\text{ 元}$（$\pi$ 为圆周率）.

(1) 将 $V$ 表示成 $r$ 的函数 $V(r)$，并求该函数的定义域. (2) 讨论函数 $V(r)$ 的单调性，并确定 $r$ 和 $h$ 为何值时该蓄水池的体积最大.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 无盖圆柱的侧面积为 $2\pi rh$，底面积为 $\pi r^2$，故成本条件为 约去 $40\pi$，得 $5rh+4r^2=300$，$h=\frac{300-4r^2}{5r}=\frac{60}{r}-\frac45r$. 因为 $r>0$ 且水池高度必须为正，需有 又 $V=\pi r^2h$，所以 $V(r)=\pi\left(60r-\frac45r^3\right)$，$0<r<5\sqrt3$. \item 求导得 在 $(0,5)$ 上，$V'(r)>0$，所以 $V(r)$ 递增；在 $(5,5\sqrt3)$ 上，$V'(r)<0$，所以 $V(r)$ 递减. 因此最大值在 $r=5$ 处取得. 代入高度公式： 故体积最大时 $r=5$ 米、$h=8$ 米. \end{enumerate} \end{solution}