用 $\min \{a, b\}$ 表示 $a$，$b$ 两数中的最小值. 若函数 $f(x) = \min \{|x|, |x + t|\}$ 的图象关于直线 $x = -\frac{1}{2}$ 对称，则 $t$ 的值为（ ）

过抛物线 $x^{2} = 2py$ （$p > 0$）的焦点作斜率为 1 的直线与该抛物线交于 $A$，$B$ 两点，$A$，$B$ 在 $x$ 轴上的正射影分别为 $D$，$C$. 若梯形 $ABCD$ 的面积为 $12\sqrt{2}$，则 $p =$______.

已知函数 $f(x) = \sqrt{3}\sin 2x - 2\sin^2 x$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的最大值； (2) 求函数 $f(x)$ 的零点的集合.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由 $2\sin^2x=1-\cos2x$，得 $f(x)=\sqrt{3}\sin2x+\cos2x-1=2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)-1$. 因为 $-1\leqslant\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)\leqslant1$，所以 $f(x)\leqslant1$，且当 $2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+2k\pi$ 时取等号，其中 $k\in\mathbf{Z}$. 因此 $f(x)$ 的最大值为 $1$. \item $f(x)=0$ 等价于 $\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}$. 所以 $2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+2k\pi$ 或 $2x+\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}+2k\pi$，其中 $k\in\mathbf{Z}$. 解得 $x=k\pi$ 或 $x=k\pi+\frac{\pi}{3}$. 故零点集合为 $\left\{k\pi\mid k\in\mathbf{Z}\right\}\cup\left\{k\pi+\frac{\pi}{3}\mid k\in\mathbf{Z}\right\}$. \end{enumerate} \end{solution}

如图，是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图.

(1) 求直方图中 $x$ 的值； (2) 若将频率视为概率，从这个城市随机抽取 $3$ 位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在 $3$ 至 $4\text{ 吨}$ 的居民数 $X$ 的分布列和数学期望.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由频率分布直方图中各组组距均为 $1$，各组频率之和为 $1$，得 所以 $x=0.12$. \item 居民月均用水量在 $3$ 至 $4\text{ 吨}$ 的概率为 $0.10$. 由于是有放回抽样，$3$ 位居民是否属于该类相互独立，所以 $X\sim B(3,0.10)$. 对 $k=0$，$1$，$2$，$3$，有 因此 $X$ 的分布列为 \begin{center} \begin{tabular}{c|cccc} $X$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ \ \hline $P$ & $0.729$ & $0.243$ & $0.027$ & $0.001$ \end{tabular} \end{center} 数学期望为 $E(X)=3\times0.10=0.3$. \end{enumerate} \end{solution}

如图所示，在正方体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，$E$ 是棱 $DD_{1}$ 的中点.

(1) 求直线 $BE$ 和平面 $ABB_{1}A_{1}$ 所成的角的正弦值； (2) 在棱 $C_{1}D_{1}$ 上是否存在一点 $F$，使 $B_{1}F \parallel$ 平面 $A_{1}BE$？证明你的结论.

\begin{solution} 设正方体的棱长为 $a$，以 $B$ 为原点，以 $BC$，$BA$，$BB_{1}$ 所在直线分别为三个坐标轴，则 \begin{enumerate} \item 于是 $B=\left(0,0,0\right)$，$C=\left(a,0,0\right)$，$A=\left(0,a,0\right)$，$B_{1}=\left(0,0,a\right)$，$A_{1}=\left(0,a,a\right)$，$D=\left(a,a,0\right)$，$E=\left(a,a,\frac{a}{2}\right)$. 直线 $BE$ 的方向向量可取 $\boldsymbol{v}=\left(a,a,\frac{a}{2}\right)$. 平面 $ABB_{1}A_{1}$ 的法向为 $x$ 轴方向，因此直线 $BE$ 与该平面所成的角为 $\theta$ 时， \item 设 $F$ 的坐标为 $\left(a,t,a\right)$，其中 $0\leqslant t\leqslant a$. 有 $\overrightarrow{BA_{1}}=\left(0,a,a\right)$，$\overrightarrow{BE}=\left(a,a,\frac{a}{2}\right)$，$\overrightarrow{B_{1}F}=\left(a,t,0\right)$. 取平面 $A_{1}BE$ 的一个法向量 由于 $B$ 是平面 $A_{1}BE$ 上的点，且 $\overrightarrow{BB_{1}}\cdot\boldsymbol{n}=-a^3\ne0$，所以直线 $B_{1}F$ 不在该平面内. 因而要使 $B_{1}F\parallel$ 平面 $A_{1}BE$，必须且只需其方向向量满足 $\overrightarrow{B_{1}F}\cdot\boldsymbol{n}=0$，即 从而 $t=\frac{a}{2}$. 因此存在这样的点 $F$，且 $F$ 是棱 $C_{1}D_{1}$ 的中点. \end{enumerate} \end{solution}