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04平面向量★★★☆☆
OO 是平面上一定点，AA，BB，CC 是平面上不共线的三个点，动点 PP 满足 OP→=OA→+λ(AB→∣AB→∣+AC→∣AC→∣)\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \lambda \left(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} + \frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}\right)（λ∈[0,+∞)\lambda \in [0, +\infty)），则 PP 的轨迹一定通过 △ABC\triangle ABC 的（ ）
A.
外心
B.
内心
C.
重心
D.
垂心

2003 · 天津 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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07导数及其应用★★★☆☆
设 a>0a > 0，f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c，曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 P(x0,f(x0))P(x_0, f(x_0)) 处切线的倾斜角的取值范围为 [0,π4]\left[0, \frac{\pi}{4}\right]，则 PP 到曲线 y=f(x)y = f(x) 对称轴距离的取值范围为（ ）
A.
[0,1a]\left[0, \frac{1}{a}\right]
B.
[0,12a]\left[0, \frac{1}{2a}\right]
C.
[0,∣b2a∣]\left[0, \left|\frac{b}{2a}\right|\right]
D.
[0,∣b−12a∣]\left[0, \left|\frac{b-1}{2a}\right|\right]

2003 · 天津 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★☆☆
已知方程 (x2−2x+m)(x2−2x+n)=0(x^{2} - 2x + m)(x^{2} - 2x + n) = 0 的四个根组成一个首项为 14\frac{1}{4} 的等差数列，则 ∣m−n∣=|m - n| =（ ）
A.
1
B.
34\frac{3}{4}
C.
12\frac{1}{2}
D.
38\frac{3}{8}

2003 · 天津 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09解析几何★★★☆☆
已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F(7,0)F(\sqrt{7}, 0)，直线 y=x−1y = x - 1 与其相交于 MM，NN 两点，MNMN 中点的横坐标为 −23-\frac{2}{3}，则此双曲线的方程是（ ）
A.
x23−y24=1\frac{x^2}{3} -\frac{y^2}{4} = 1
B.
x24−y23=1\frac{x^2}{4} -\frac{y^2}{3} = 1
C.
x25−y22=1\frac{x^2}{5} -\frac{y^2}{2} = 1
D.
x22−y25=1\frac{x^2}{2} -\frac{y^2}{5} = 1

2003 · 天津 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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11计数原理与组合数学★★★☆☆
lim⁡n→∞C22+C32+C42+⋯+Cn2n(C21+C31+C41+⋯+Cn1)=\displaystyle\lim_{n\to \infty}\frac{\mathrm C_2^2 + \mathrm C_3^2 + \mathrm C_4^2 + \cdots + \mathrm C_n^2}{n(\mathrm C_2^1 + \mathrm C_3^1 + \mathrm C_4^1 + \cdots + \mathrm C_n^1)} =（ ）
A.
3
B.
13\frac{1}{3}
C.
16\frac{1}{6}
D.
6

2003 · 天津 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12立体几何初步★★★☆☆
一个四面体的所有棱长都为 2\sqrt{2}，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A.
3π3\pi
B.
4π4\pi
C.
33π3\sqrt{3}\pi
D.
6π6\pi

2003 · 天津 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90∘\angle ACB = 90^{\circ}，侧棱 AA1=2AA_{1} = 2，DD，EE 分别是 CC1CC_{1} 与 A1BA_{1}B 的中点，点 EE 在平面 ABDABD 上的射影是 △ABD\triangle ABD 的重心 GG.
(1) 求 A1BA_{1}B 与平面 ABDABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； (2) 求点 A1A_{1} 到平面 AEDAED 的距离.

2003 · 天津 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★☆☆
设 a>0a > 0，求函数 f(x)=x−ln⁡(x+a)f(x) = \sqrt{x} - \ln (x + a)（x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)）的单调区间.

2003 · 天津 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20概率与统计★★★☆☆
AA，BB 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，AA 队队员是 A1A_1，A2A_2，A3A_3，BB 队队员是 B1B_1，B2B_2，B3B_3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：
现按表中对阵方式出场，每场胜队得 1 分1\text{ 分}，负队得 0 分0\text{ 分}，设 AA 队，BB 队最后所得总分分别为 ξ\xi，η\eta.
(1) 求 ξ\xi，η\eta 的概率分布； (2) 求 E(ξ)E(\xi)，E(η)E(\eta).

2003 · 天津 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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