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08平面向量★★★☆☆
已知点 AA，BB，CC 在圆 x2+y2=1x^{2} + y^{2} = 1 上运动，且 AB⊥BCAB \perp BC. 若点 PP 的坐标为 (2,0)(2,0)，则 ∣PA→+PB→+PC→∣\left|\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC}\right| 的最大值为（ ）
A.
6
B.
7
C.
8
D.
9

2015 · 湖南 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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12概率与统计★★★☆☆
在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩（单位：分钟）茎叶图如图所示.
130\quad 0\quad 3\quad 4\quad 5\quad 6\quad 6\quad 8\quad 8\quad 8\quad 9
141\quad 1\quad 1\quad 2\quad 2\quad 2\quad 3\quad 3\quad 4\quad 4\quad 5\quad 5\quad 5\quad 6\quad 6\quad 7\quad 8
150\quad 1\quad 2\quad 2\quad 3\quad 3\quad 3
若将运动员按成绩由好到差编为 1∼351 \sim 35 号，再用系统抽样的方法从中抽取 7 人，则其中成绩在区间 [139,151][139,151] 上的运动员人数是______.

2015 · 湖南 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13解析几何★★★☆☆
设 FF 是双曲线 C:x2a2−y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 的一个焦点. 若 CC 上存在点 PP，使线段 PFPF 的中点恰为其虚轴的一个端点. 则 CC 的离心率为______.

2015 · 湖南 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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16解析几何★★★☆☆
已知直线
l:{x=5+32t,y=3+12t,l: \begin{cases} x = 5 + \frac{\sqrt{3}}{2} t,\\ y = \sqrt{3} + \frac{1}{2} t, \end{cases}
（tt 为参数），以坐标原点为极点，xx 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 CC 的极坐标方程为 ρ=2cos⁡θ\rho = 2\cos \theta.
(1) 将曲线 CC 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2) 设点 MM 的直角坐标为 (5,3)(5, \sqrt{3})，直线 ll 与曲线 CC 的交点为 AA，BB，求 ∣MA∣⋅∣MB∣|MA|\cdot|MB| 的值.

2015 · 湖南 · 理 · 第 16 题（II） · 解答题

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16不等式★★★☆☆
设 a>0a > 0，b>0b > 0，且 a+b=1a+1ba + b = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}. 证明：
(1) a+b⩾2a + b \geqslant 2； (2) a2+a<2a^2 + a < 2 与 b2+b<2b^2 + b < 2 不可能同时成立.

2015 · 湖南 · 理 · 第 16 题（III） · 解答题

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16立体几何初步★★★☆☆
如图，在 ⊙O\odot O 中，相交于点 EE 的两弦 ABAB，CDCD 的中点分别是 MM，NN，直线 MOMO 与直线 CDCD 相交于点 FF. 证明：
(1) ∠MEN+∠NOM=180∘\angle MEN + \angle NOM = 180^{\circ}； (2) FE⋅FN=FM⋅FOFE\cdot FN = FM\cdot FO.

2015 · 湖南 · 理 · 第 16 题（I） · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
设 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，a=btan⁡Aa = b \tan A，且 BB 为钝角.
(1) 证明： B−A=π2B - A = \frac{\pi}{2}； (2) 求 sin⁡A+sin⁡C\sin A + \sin C 的取值范围.

2015 · 湖南 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球，6个白球的甲箱和装有5个红球，5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球. 在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.
(1) 求顾客抽奖 1 次能获奖的概率； (2) 若某顾客有 3 次抽奖的机会，记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 XX，求 XX 的分布列和数学期望.

2015 · 湖南 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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