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共找到 23 题
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01复数★☆☆☆☆
已知 (1−i)2z=1+i\frac{(1 - \mathrm{i})^2}{z} = 1 + \mathrm{i}（i\mathrm{i} 为虚数单位），则复数 z=z =（ ）
A.
1+i1 + \mathrm{i}
B.
1−i1 - \mathrm{i}
C.
−1+i-1 + \mathrm{i}
D.
−1−i-1 - \mathrm{i}

2015 · 湖南 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 AA，BB 是两个集合，则“A∩B=AA \cap B = A”是“A⊆BA \subseteq B”的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2015 · 湖南 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03数列★★☆☆☆
执行如图所示的程序框图，如果输入 n=3n = 3，则输出的 S=S =（ ）
A.
67\frac{6}{7}
B.
37\frac{3}{7}
C.
89\frac{8}{9}
D.
49\frac{4}{9}

2015 · 湖南 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04不等式★★☆☆☆
若变量 xx，yy 满足约束条件
{x+y⩾−1,2x−y⩽1,y⩽1,\begin{cases} x + y \geqslant -1,\\ 2x - y \leqslant 1,\\ y \leqslant 1, \end{cases}
则 z=3x−yz = 3x - y 的最小值为（ ）
A.
−7-7
B.
−1-1
C.
1
D.
2

2015 · 湖南 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05函数与初等函数★★☆☆☆
设函数 f(x)=ln⁡(1+x)−ln⁡(1−x)f(x) = \ln (1 + x) - \ln (1 - x)，则 f(x)f(x) 是（ ）
A.
奇函数，且在 (0,1)(0,1) 是增函数
B.
奇函数，且在 (0,1)(0,1) 是减函数
C.
偶函数，且在 (0,1)(0,1) 是增函数
D.
偶函数，且在 (0,1)(0,1) 是减函数

2015 · 湖南 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06计数原理与组合数学★★☆☆☆
已知 (x−ax)5\left(\sqrt{x} - \frac{a}{\sqrt{x}}\right)^5 的展开式中含 x32x^{\frac{3}{2}} 的项的系数为 30，则 a=a =（ ）
A.
3\sqrt{3}
B.
−3-\sqrt{3}
C.
6
D.
−6-6

2015 · 湖南 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07概率与统计★★☆☆☆
在如图所示的正方形中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分（曲线 CC 为正态分布 N(0,1)N(0,1) 的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）
附：若 X∼N(μ,σ2)X \sim N(\mu, \sigma^2)，则 P{μ−σ<X⩽μ+σ}=0.6826P\{\mu - \sigma < X \leqslant \mu + \sigma\} = 0.6826，P{μ−2σ<X⩽μ+2σ}=0.9544P\{\mu - 2\sigma < X \leqslant \mu + 2\sigma\} = 0.9544
A.
2386
B.
2718
C.
3413
D.
4772

2015 · 湖南 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08平面向量★★★☆☆
已知点 AA，BB，CC 在圆 x2+y2=1x^{2} + y^{2} = 1 上运动，且 AB⊥BCAB \perp BC. 若点 PP 的坐标为 (2,0)(2,0)，则 ∣PA→+PB→+PC→∣\left|\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC}\right| 的最大值为（ ）
A.
6
B.
7
C.
8
D.
9

2015 · 湖南 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09三角函数★★★★☆
将函数 f(x)=sin⁡2xf(x) = \sin 2x 的图象向右平移 φ\varphi （0<φ<π20 < \varphi < \frac{\pi}{2}）个单位后得到函数 g(x)g(x) 的图象，若对满足 ∣f(x1)−g(x2)∣=2|f(x_1) - g(x_2)| = 2 的 x1x_1，x2x_2，有 ∣x1−x2∣min⁡=π3|x_1 - x_2|_{\min} = \frac{\pi}{3}，则 φ=\varphi =（ ）
A.
5π12\frac{5\pi}{12}
B.
π3\frac{\pi}{3}
C.
π4\frac{\pi}{4}
D.
π6\frac{\pi}{6}

2015 · 湖南 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10导数及其应用★★★★☆
某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（ ）（材料的利用率 =新工件的体积原工件的体积=\frac{\text{新工件的体积}}{\text{原工件的体积}}）
A.
89π\frac{8}{9\pi}
B.
169π\frac{16}{9\pi}
C.
4(2−1)3π\frac{4(\sqrt{2} - 1)^3}{\pi}
D.
12(2−1)3π\frac{12(\sqrt{2} - 1)^3}{\pi}

2015 · 湖南 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11导数及其应用★☆☆☆☆
∫02(x−1) dx=\int_{0}^{2} (x - 1) \, \mathrm{d}x =______.

2015 · 湖南 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12概率与统计★★★☆☆
在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩（单位：分钟）茎叶图如图所示.
130\quad 0\quad 3\quad 4\quad 5\quad 6\quad 6\quad 8\quad 8\quad 8\quad 9
141\quad 1\quad 1\quad 2\quad 2\quad 2\quad 3\quad 3\quad 4\quad 4\quad 5\quad 5\quad 5\quad 6\quad 6\quad 7\quad 8
150\quad 1\quad 2\quad 2\quad 3\quad 3\quad 3
若将运动员按成绩由好到差编为 1∼351 \sim 35 号，再用系统抽样的方法从中抽取 7 人，则其中成绩在区间 [139,151][139,151] 上的运动员人数是______.

2015 · 湖南 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13解析几何★★★☆☆
设 FF 是双曲线 C:x2a2−y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 的一个焦点. 若 CC 上存在点 PP，使线段 PFPF 的中点恰为其虚轴的一个端点. 则 CC 的离心率为______.

2015 · 湖南 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14数列★★☆☆☆
设 SnS_{n} 为等比数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和. 若 a1=1a_{1} = 1，且 3S13S_{1}，2S22S_{2}，S3S_{3} 成等差数列，则 an=‾a_{n} =\underline{\hspace{2em}}.

2015 · 湖南 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★★☆
已知函数
f(x)={x3,x⩽ax2,x>a,f(x) = \begin{cases} x^3, & x \leqslant a\\ x^2, & x > a, \end{cases}
若存在实数 bb，使函数 g(x)=f(x)−bg(x) = f(x) - b 有两个零点，则 aa 的取值范围是______.

2015 · 湖南 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16解析几何★★★☆☆
已知直线
l:{x=5+32t,y=3+12t,l: \begin{cases} x = 5 + \frac{\sqrt{3}}{2} t,\\ y = \sqrt{3} + \frac{1}{2} t, \end{cases}
（tt 为参数），以坐标原点为极点，xx 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 CC 的极坐标方程为 ρ=2cos⁡θ\rho = 2\cos \theta.
(1) 将曲线 CC 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2) 设点 MM 的直角坐标为 (5,3)(5, \sqrt{3})，直线 ll 与曲线 CC 的交点为 AA，BB，求 ∣MA∣⋅∣MB∣|MA|\cdot|MB| 的值.

2015 · 湖南 · 理 · 第 16 题（II） · 解答题

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16不等式★★★☆☆
设 a>0a > 0，b>0b > 0，且 a+b=1a+1ba + b = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}. 证明：
(1) a+b⩾2a + b \geqslant 2； (2) a2+a<2a^2 + a < 2 与 b2+b<2b^2 + b < 2 不可能同时成立.

2015 · 湖南 · 理 · 第 16 题（III） · 解答题

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16立体几何初步★★★☆☆
如图，在 ⊙O\odot O 中，相交于点 EE 的两弦 ABAB，CDCD 的中点分别是 MM，NN，直线 MOMO 与直线 CDCD 相交于点 FF. 证明：
(1) ∠MEN+∠NOM=180∘\angle MEN + \angle NOM = 180^{\circ}； (2) FE⋅FN=FM⋅FOFE\cdot FN = FM\cdot FO.

2015 · 湖南 · 理 · 第 16 题（I） · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
设 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，a=btan⁡Aa = b \tan A，且 BB 为钝角.
(1) 证明： B−A=π2B - A = \frac{\pi}{2}； (2) 求 sin⁡A+sin⁡C\sin A + \sin C 的取值范围.

2015 · 湖南 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球，6个白球的甲箱和装有5个红球，5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球. 在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.
(1) 求顾客抽奖 1 次能获奖的概率； (2) 若某顾客有 3 次抽奖的机会，记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 XX，求 XX 的分布列和数学期望.

2015 · 湖南 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，已知四棱台 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的上，下底面分别是边长为 3 和 6 的正方形，AA1=6AA_{1} = 6，且 AA1⊥AA_{1} \perp 底面 ABCDABCD，点 PP，QQ 分别在棱 DD1DD_{1}，BCBC 上.
(1) 若点 PP 是 DD1DD_{1} 的中点，证明： AB1⊥PQAB_{1} \perp PQ； (2) 若 PQ∥PQ \parallel 平面 ABB1A1ABB_{1}A_{1}，二面角 P−QD−AP - QD - A 的余弦值为 37\frac{3}{7}，求四面体 ADPQADPQ 的体积.

2015 · 湖南 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★★
已知抛物线 C1:x2=4yC_1: x^2 = 4y 的焦点 FF 也是椭圆 C2:y2a2+x2b2=1C_2: \frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的一个焦点，C1C_1 与 C2C_2 的公共弦长为 262\sqrt{6}.
(1) 求 C2C_{2} 的方程； (2) 过点 FF 的直线 ll 与 C1C_1 相交于 AA，BB 两点，与 C2C_2 相交于 CC，DD 两点，且 AC→\overrightarrow{AC} 与 BD→\overrightarrow{BD} 同向.
① 若 ∣AC∣=∣BD∣|AC| = |BD|，求直线 ll 的斜率； ② 设 C1C_1 在点 AA 处的切线与 xx 轴的交点为 MM，证明： 直线 ll 绕点 FF 旋转时，△MFD\triangle MFD 总是钝角三角形.

2015 · 湖南 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知 a>0a > 0，函数 f(x)=eaxsin⁡xf(x) = \mathrm{e}^{ax}\sin x （x∈[0,+∞)x \in [0, +\infty)），记 xnx_n 为 f(x)f(x) 的从小到大的第 nn （n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）个极值点. 证明：
(1) 数列 {f(xn)}\left\{f(x_{n})\right\} 是等比数列； (2) 若 a⩾1e2−1a \geqslant \frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}^{2} - 1}}，则对一切 n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，xn<∣f(xn)∣x_n < |f(x_n)| 恒成立.

2015 · 湖南 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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