外国船只除特许外不得进入离我海岸线 $D\text{ 里}$ 以内的区域. 设 $A$ 及 $B$ 是我们的观测站，$A$ 及 $B$ 间的距离为 $S\text{ 里}$，海岸线是过 $A$，$B$ 的直线，一外国船在 $P$ 点，在 $A$ 站测得 $\angle BAP=\alpha$，同时在 $B$ 站测得 $\angle ABP=\beta$. 则 $\alpha$ 及 $\beta$ 满足什么简单的三角函数值不等式，就应当向此未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域？

美国的物价从 1939 年的 $100$ 增加到四十年后 1979 年的 $500$，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：$x < 0.1$，可用：$\ln\left(1+x\right) \approx x$，取 $\lg 2 = 0.3$，$\ln 10 = 2.3$）

设 $CEDF$ 是一个已知圆的内接矩形，过 $D$ 作该圆的切线与 $CE$ 的延长线相交于点 $A$，与 $CF$ 的延长线相交于点 $B$. 求证：$\frac{BF}{AE} = \frac{BC^{3}}{AC^{3}}$.

试问数列 $\lg 100$，$\lg \left(100\sin \frac{\pi}{4}\right)$，$\lg \left(100\sin^{2}\frac{\pi}{4}\right)$，$\cdots$，$\lg \left(100\sin^{n-1}\frac{\pi}{4}\right)$ 前多少项的和的值最大？并求这最大值. （$\lg 2 = 0.301$）