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01数列★★☆☆☆
若 (z−x)2−4(x−y)(y−z)=0\left(z-x\right)^2-4\left(x-y\right)\left(y-z\right)=0，求证：xx，yy，zz 成等差数列.

1979 · 全国 · 理 · 第 1 题 · 解答题

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02三角函数★★☆☆☆
化简： 11−11−11−csc⁡2x\frac{1}{1-\frac{1}{1-\frac{1}{1-\csc^2 x}}}.

1979 · 全国 · 理 · 第 2 题 · 解答题

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03函数与初等函数★★☆☆☆
甲，乙二容器内都盛有酒精，甲有 V1 公斤V_{1}\text{ 公斤}，乙有 V2 公斤V_{2}\text{ 公斤}. 甲中纯酒精与水（重量）之比为 m1:n1m_{1}:n_{1}，乙中纯酒精与水之比为 m2:n2m_{2}:n_{2}. 问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？

1979 · 全国 · 理 · 第 3 题 · 解答题

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04三角函数★★☆☆☆
叙述并证明勾股定理.

1979 · 全国 · 理 · 第 4 题 · 解答题

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05三角函数★★★☆☆
外国船只除特许外不得进入离我海岸线 D 里D\text{ 里} 以内的区域. 设 AA 及 BB 是我们的观测站，AA 及 BB 间的距离为 S 里S\text{ 里}，海岸线是过 AA，BB 的直线，一外国船在 PP 点，在 AA 站测得 ∠BAP=α\angle BAP=\alpha，同时在 BB 站测得 ∠ABP=β\angle ABP=\beta. 则 α\alpha 及 β\beta 满足什么简单的三角函数值不等式，就应当向此未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域？

1979 · 全国 · 理 · 第 5 题 · 解答题

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06★☆☆☆☆
设三棱锥 V−ABCV - ABC 中，∠AVB=∠BVC=∠CVA=90∘\angle AVB = \angle BVC = \angle CVA = 90^{\circ}. 求证：△ABC\triangle ABC 是锐角三角形.

1979 · 全国 · 理 · 第 6 题 · 解答题

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07指数函数与对数函数★★★☆☆
美国的物价从 1939 年的 100100 增加到四十年后 1979 年的 500500，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：x<0.1x < 0.1，可用：ln⁡(1+x)≈x\ln\left(1+x\right) \approx x，取 lg⁡2=0.3\lg 2 = 0.3，ln⁡10=2.3\ln 10 = 2.3）

1979 · 全国 · 理 · 第 7 题 · 解答题

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08解析几何★★★☆☆
设 CEDFCEDF 是一个已知圆的内接矩形，过 DD 作该圆的切线与 CECE 的延长线相交于点 AA，与 CFCF 的延长线相交于点 BB. 求证：BFAE=BC3AC3\frac{BF}{AE} = \frac{BC^{3}}{AC^{3}}.

1979 · 全国 · 理 · 第 8 题 · 解答题

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09数列★★★☆☆
试问数列 lg⁡100\lg 100，lg⁡(100sin⁡π4)\lg \left(100\sin \frac{\pi}{4}\right)，lg⁡(100sin⁡2π4)\lg \left(100\sin^{2}\frac{\pi}{4}\right)，⋯\cdots，lg⁡(100sin⁡n−1π4)\lg \left(100\sin^{n-1}\frac{\pi}{4}\right) 前多少项的和的值最大？并求这最大值. （lg⁡2=0.301\lg 2 = 0.301）

1979 · 全国 · 理 · 第 9 题 · 解答题

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10解析几何★★★★☆
设等腰 △OAB\triangle OAB 的顶角为 2θ2\theta，高为 hh.
(1) △OAB\triangle OAB 内有一动点 PP，到三边 OAOA，OBOB，ABAB 的距离分别为 ∣PD∣\lvert PD\rvert，∣PF∣\lvert PF\rvert，∣PE∣\lvert PE\rvert，并且满足关系 ∣PD∣⋅∣PF∣=∣PE∣2\lvert PD\rvert \cdot \lvert PF\rvert = \lvert PE\rvert^2. 求 PP 点的轨迹； (2) 在上述轨迹中定出点 PP 的坐标，使得 ∣PD∣+∣PE∣=∣PF∣\lvert PD\rvert + \lvert PE\rvert = \lvert PF\rvert.

1979 · 全国 · 理 · 第 10 题 · 解答题

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