设 $f^{-1}(x)$ 为 $f(x) = 2^{x - 2} + \frac{x}{2}$，$x \in [0,2]$ 的反函数，则 $y = f(x) + f^{-1}(x)$ 的最大值为______.

在 $\left(1 + x + \frac{1}{x^{2015}}\right)^{10}$ 的展开式中，$x^2$ 项的系数为______. （结果用数值表示）

赌博有陷阱. 某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有 $1$，$2$，$3$，$4$，$5$ 的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的 $1.4$ 倍作为其奖金（单位：元）. 若随机变量 $\xi_{1}$ 和 $\xi_{2}$ 分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 $E(\xi_{1}) - E(\xi_{2}) =$______（元）.

记方程①： $x^{2} + a_{1}x + 1 = 0$，方程②： $x^{2} + a_{2}x + 2 = 0$，方程③： $x^{2} + a_{3}x + 4 = 0$，其中 $a_{1}$，$a_{2}$，$a_{3}$ 是正实数. 当 $a_{1}$，$a_{2}$，$a_{3}$ 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）

如图，在长方体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，$AA_{1} = 1$，$AB = AD = 2$，$E$，$F$ 分别是棱 $AB$，$BC$ 的中点. 证明 $A_{1}$，$C_{1}$，$F$，$E$ 四点共面，并求直线 $CD_{1}$ 与平面 $A_{1}C_{1}FE$ 所成角的正弦值.