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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设全集 U=RU = \mathbf{R}. 若集合 A={1,2,3,4}A = \{1, 2, 3, 4\}，B={x∣2⩽x<3}B = \{x \mid 2 \leqslant x < 3\}，则 A∩∁UB=A \cap \complement_U B =______.

2015 · 上海 · 理 · 第 1 题 · 填空题

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02复数★☆☆☆☆
若复数 zz 满足 3z+z‾=1+i3z + \overline{z} = 1 + \mathrm{i}，其中 i\mathrm{i} 为虚数单位，则 z=‾z =\underline{\hspace{2em}}.

2015 · 上海 · 理 · 第 2 题 · 填空题

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03解析几何★☆☆☆☆
若线性方程组的增广矩阵为
(23c101c2)\begin{pmatrix}2 & 3 & c_1\\ 0 & 1 & c_2 \end{pmatrix}
，解为
{x=3,y=5\begin{cases} x = 3,\\ y = 5 \end{cases}
，则 c1−c2=c_{1} - c_{2} =______.

2015 · 上海 · 理 · 第 3 题 · 填空题

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04立体几何初步★☆☆☆☆
若正三棱柱的所有棱长均为 aa，且其体积为 16316\sqrt{3}，则 a=a =______.

2015 · 上海 · 理 · 第 4 题 · 填空题

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05解析几何★☆☆☆☆
抛物线 y2=2pxy^{2} = 2px （p>0p > 0）上的动点 QQ 到焦点的距离的最小值为 1，则 p=p =______.

2015 · 上海 · 理 · 第 5 题 · 填空题

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06立体几何初步★★☆☆☆
若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 2π2\pi，则其母线与轴的夹角的大小为______.

2015 · 上海 · 理 · 第 6 题 · 填空题

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07指数函数与对数函数★★☆☆☆
方程 log⁡2(9x−1−5)=log⁡2(3x−1−2)+2\log_2(9^{x - 1} - 5) = \log_2(3^{x - 1} - 2) + 2 的解为______.

2015 · 上海 · 理 · 第 7 题 · 填空题

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08计数原理与组合数学★★☆☆☆
在报名的 33 名男教师和 66 名女教师中，选取 55 人参加义务献血. 要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为______. （结果用数值表示）

2015 · 上海 · 理 · 第 8 题 · 填空题

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09★☆☆☆☆
已知点 PP 和 QQ 的横坐标相同，PP 的纵坐标是 QQ 的纵坐标的 2 倍，PP 和 QQ 的轨迹分别为双曲线 C1C_1 和 C2C_2. 若 C1C_1 的渐近线方程为 y=±3xy = \pm \sqrt{3} x，则 C2C_2 的渐近线方程为______.

2015 · 上海 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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10函数与初等函数★★★☆☆
设 f−1(x)f^{-1}(x) 为 f(x)=2x−2+x2f(x) = 2^{x - 2} + \frac{x}{2}，x∈[0,2]x \in [0,2] 的反函数，则 y=f(x)+f−1(x)y = f(x) + f^{-1}(x) 的最大值为______.

2015 · 上海 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11计数原理与组合数学★★★☆☆
在 (1+x+1x2015)10\left(1 + x + \frac{1}{x^{2015}}\right)^{10} 的展开式中，x2x^2 项的系数为______. （结果用数值表示）

2015 · 上海 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12概率与统计★★★☆☆
赌博有陷阱. 某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有 11，22，33，44，55 的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的 1.41.4 倍作为其奖金（单位：元）. 若随机变量 ξ1\xi_{1} 和 ξ2\xi_{2} 分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 E(ξ1)−E(ξ2)=E(\xi_{1}) - E(\xi_{2}) =______（元）.

2015 · 上海 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x. 若存在 x1x_1，x2x_2，⋯\cdots，xmx_m 满足 0⩽x1<x2<⋯<xm⩽6π0 \leqslant x_1 < x_2 < \cdots < x_m \leqslant 6\pi，且 ∣f(x1)−f(x2)∣+∣f(x2)−f(x3)∣+⋯+∣f(xm−1)−f(xm)∣=12|f(x_1) - f(x_2)| + |f(x_2) - f(x_3)| + \cdots + |f(x_{m-1}) - f(x_m)| = 12（m⩾2m \geqslant 2，m∈N∗m \in \mathbf{N}^*），则 mm 的最小值为______.

2015 · 上海 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14平面向量★★★★☆
在锐角三角形 ABCABC 中，tan⁡A=12\tan A = \frac{1}{2}，DD 为边 BCBC 上的点，△ABD\triangle ABD 与 △ACD\triangle ACD 的面积分别为 2 和 4. 过 DD 作 DE⊥ABDE \perp AB 于 EE，DF⊥ACDF \perp AC 于 FF，则 DE→⋅DF→=\overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{DF} =______.

2015 · 上海 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 z1z_{1}，z2∈Cz_{2} \in \mathbf{C}，则“z1z_{1}，z2z_{2} 中至少有一个数是虚数”是“z1−z2z_{1} - z_{2} 是虚数”的（ ）
A.
充分非必要条件
B.
必要非充分条件
C.
充要条件
D.
既非充分又非必要条件

2015 · 上海 · 理 · 第 15 题 · 选择题

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16三角函数★★☆☆☆
已知点 AA 的坐标为 (43,1)(4\sqrt{3}, 1)，将 OAOA 绕坐标原点 OO 逆时针旋转 π3\frac{\pi}{3} 至 OBOB，则点 BB 的纵坐标为（ ）
A.
332\frac{3\sqrt{3}}{2}
B.
532\frac{5\sqrt{3}}{2}
C.
112\frac{11}{2}
D.
132\frac{13}{2}

2015 · 上海 · 理 · 第 16 题 · 选择题

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17数列★★★☆☆
记方程①： x2+a1x+1=0x^{2} + a_{1}x + 1 = 0，方程②： x2+a2x+2=0x^{2} + a_{2}x + 2 = 0，方程③： x2+a3x+4=0x^{2} + a_{3}x + 4 = 0，其中 a1a_{1}，a2a_{2}，a3a_{3} 是正实数. 当 a1a_{1}，a2a_{2}，a3a_{3} 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）
A.
方程①有实根，且②有实根
B.
方程①有实根，且②无实根
C.
方程①无实根，且②有实根
D.
方程①无实根，且②无实根

2015 · 上海 · 理 · 第 17 题 · 选择题

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18解析几何★★★★☆
设 Pn(xn,yn)P_{n}(x_{n}, y_{n}) 是直线 2x−y=nn+12x - y = \frac{n}{n + 1}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）与圆 x2+y2=2x^{2} + y^{2} = 2 在第一象限的交点，则极限 lim⁡n→∞yn−1xn−1=\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{y_{n} - 1}{x_{n} - 1} =（ ）
A.
−1-1
B.
−12-\frac{1}{2}
C.
1
D.
2

2015 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 选择题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，AA1=1AA_{1} = 1，AB=AD=2AB = AD = 2，EE，FF 分别是棱 ABAB，BCBC 的中点. 证明 A1A_{1}，C1C_{1}，FF，EE 四点共面，并求直线 CD1CD_{1} 与平面 A1C1FEA_{1}C_{1}FE 所成角的正弦值.

2015 · 上海 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20函数与初等函数★★★★☆
如图，AA，BB，CC 三地有直道相通，AB=5 千米AB = 5\text{ 千米}，AC=3 千米AC = 3\text{ 千米}，BC=4 千米BC = 4\text{ 千米}. 现甲，乙两警员同时从 AA 地出发匀速前往 BB 地，过 t 小时t\text{ 小时}，他们之间的距离为 f(t)f(t) （单位：千米）. 甲的路线是 ABAB，速度为 5 千米/小时5\text{ 千米/小时}，乙的路线是 ACBACB，速度为 8 千米/小时8\text{ 千米/小时}. 乙到达 BB 地后在原地等待. 设 t=t1t = t_1 时，乙到达 CC 地.
(1) 求 t1t_{1} 与 f(t1)f(t_{1}) 的值； (2) 已知警员的对讲机的有效通话距离是 3 千米3\text{ 千米}. 当 t1⩽t⩽1t_{1} \leqslant t \leqslant 1 时，求 f(t)f(t) 的表达式，并判断 f(t)f(t) 在 [t1,1][t_{1}, 1] 上的最大值是否超过 33. 说明理由.

2015 · 上海 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
已知椭圆 x2+2y2=1x^{2} + 2y^{2} = 1，过原点的两条直线 l1l_{1} 和 l2l_{2} 分别与椭圆交于点 AA，BB 和 CC，DD. 记得到的平行四边形 ACBDACBD 的面积为 SS.
(1) 设 A(x1,y1)A(x_{1}, y_{1})，C(x2,y2)C(x_{2}, y_{2}). 用 AA，CC 的坐标表示点 CC 到直线 l1l_{1} 的距离，并证明 S=2∣x1y2−x2y1∣S = 2|x_{1}y_{2} - x_{2}y_{1}|. (2) 设 l1l_{1} 与 l2l_{2} 的斜率之积为 −12-\frac{1}{2}，求面积 SS 的值.

2015 · 上海 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_{n}\} 与 {bn}\{b_{n}\} 满足 an+1−an=2(bn+1−bn)a_{n + 1} - a_n = 2(b_{n + 1} - b_n)，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*.
(1) 若 bn=3n+5b_{n} = 3n + 5，且 a1=1a_{1} = 1，求 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 设 {an}\{a_{n}\} 的第 n0n_0 项是最大项，即 an0⩾ana_{n_0} \geqslant a_n （n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）. 求证： {bn}\{b_n\} 的第 n0n_0 项是最大项； (3) 设 a1=λ<0a_1 = \lambda < 0，bn=λnb_n = \lambda^n（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）. 求 λ\lambda 的取值范围，使得 {an}\{a_n\} 有最大值 MM 与最小值 mm，且 Mm∈(−2,2)\frac{M}{m} \in (-2, 2).

2015 · 上海 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23函数与初等函数★★★★★
对于定义域为 R\mathbf{R} 的函数 g(x)g(x). 若存在正常数 TT，使 cos⁡g(x)\cos g(x) 是以 TT 为周期的函数，则称 g(x)g(x) 为余弦周期函数，且称 TT 为其余周期. 已知 f(x)f(x) 是以 TT 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为 R\mathbf{R}. 设 f(x)f(x) 单调递增，f(0)=0f(0) = 0，f(T)=4πf(T) = 4\pi.
(1) 验证 h(x)=x+sin⁡x3h(x) = x + \sin \frac{x}{3} 是以 6π6\pi 为余弦周期的余弦周期函数； (2) 设 a<ba < b，证明对任意 c∈[f(a),f(b)]c \in [f(a), f(b)]，存在 x0∈[a,b]x_0 \in [a, b]，使得 f(x0)=cf(x_0) = c； (3) 证明：“u0u_0 为方程 cos⁡f(x)=1\cos f(x) = 1 在 [0,T][0, T] 上的解”的充要条件是“u0+Tu_0 + T 为方程 cos⁡f(x)=1\cos f(x) = 1 在 [T,2T][T, 2T] 上的解”，并证明对任意 x∈[0,T]x \in [0, T] 都有 f(x+T)=f(x)+f(T)f(x + T) = f(x) + f(T).

2015 · 上海 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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