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14不等式★★★☆☆
设 m>1m > 1，在约束条件
{y⩾x,y⩽mx,x+y⩽1\begin{cases} y \geqslant x,\\ y \leqslant mx,\\ x + y \leqslant 1 \end{cases}
下目标函数 z=x+5yz = x + 5y 的最大值为 44，则 mm 的值为______.

2011 · 湖南 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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16函数与初等函数★★★☆☆
给定 k∈N∗k \in \mathbf{N}^*，设函数 f:N∗→N∗f: \mathbf{N}^* \to \mathbf{N}^* 满足：对于任意大于 kk 的正整数 nn，f(n)=n−kf(n) = n - k.
(1) 设 k=1k = 1，则其中一个函数 ff 在 n=1n = 1 处的函数值为______； (2) 设 k=4k = 4，且当 n⩽4n \leqslant 4 时，2⩽f(n)⩽32 \leqslant f(n) \leqslant 3，则不同的函数 ff 的个数为______.

2011 · 湖南 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc，且满足 csin⁡A=acos⁡Cc \sin A = a \cos C.
(1) 求角 CC 的大小； (2) 求 3sin⁡A−cos⁡(B+π4)\sqrt{3}\sin A - \cos\left(B + \frac{\pi}{4}\right) 的最大值，并求取得最大值时角 AA，BB 的大小.

2011 · 湖南 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，在圆锥 POPO 中，已知 PO=2PO = \sqrt{2}，⊙O\odot O 的直径 AB=2AB = 2，点 CC 在 AB^\widehat{AB} 上，且 ∠CAB=30∘\angle CAB = 30^{\circ}，DD 为 ACAC 的中点.
(1) 证明： AC⊥AC \perp 平面 PODPOD； (2) 求直线 OCOC 和平面 PACPAC 所成角的正弦值.

2011 · 湖南 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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