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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设全集 U=M∪N={1,2,3,4,5}U = M \cup N = \{1, 2, 3, 4, 5\}，M∩∁UN={2,4}M \cap \complement_U N = \{2, 4\}，则 N=N =（ ）
A.
{1,2,3}\{1, 2, 3\}
B.
{1,3,5}\{1,3,5\}
C.
{1,4,5}\{1,4,5\}
D.
{2,3,4}\{2,3,4\}

2011 · 湖南 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
若 aa，b∈Rb\in\mathbf{R}，i\mathrm{i} 为虚数单位，且 (a+i)i=b+i(a + \mathrm{i})\mathrm{i} = b + \mathrm{i}，则（ ）
A.
a=1a = 1，b=1b = 1
B.
a=−1a = -1，b=1b = 1
C.
a=1a = 1，b=−1b = -1
D.
a=−1a = -1，b=−1b = -1

2011 · 湖南 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03集合与逻辑基础★☆☆☆☆
“x>1x>1”是“∣x∣>1|x|>1”的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分又不必要条件

2011 · 湖南 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04立体几何初步★★☆☆☆
如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
A.
9π+429\pi + 42
B.
36π+1836\pi + 18
C.
92π+12\frac{9}{2}\pi + 12
D.
92π+18\frac{9}{2}\pi + 18

2011 · 湖南 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05概率与统计★★☆☆☆
通过随机询问 110110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男女总计
不爱好202030305050
由 K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2 = \frac{n(ad-bc)^2}{(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)} 算得，K2=110×(40×30−20×20)260×50×60×50≈7.8K^2 = \frac {110 \times (40 \times 30 - 20 \times 20) ^{2}}{60 \times 50 \times 60 \times 50} \approx 7.8. 附表：
P(K2⩾k)P(K^2 \geqslant k)0.0500.0500.0100.0100.0010.001
参照附表，得到的正确结论是（ ）
A.
有 99%99\% 以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B.
有 99%99\% 以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C.
在犯错误的概率不超过 0.1% 的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D.
在犯错误的概率不超过 0.1% 的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

2011 · 湖南 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06解析几何★☆☆☆☆
设双曲线 x2a2−y29=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{9} = 1 （a>0a > 0）的渐近线方程为 3x±2y=03x \pm 2y = 0，则 aa 的值为（ ）
A.
4
B.
3
C.
2
D.
1

2011 · 湖南 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07导数及其应用★★☆☆☆
曲线 y=sin⁡xsin⁡x+cos⁡x−12y = \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} - \frac{1}{2} 在点 M(π4,0)M\left(\frac{\pi}{4}, 0\right) 处的切线的斜率为（ ）
A.
−12-\frac{1}{2}
B.
12\frac{1}{2}
C.
−22-\frac{\sqrt{2}}{2}
D.
22\frac{\sqrt{2}}{2}

2011 · 湖南 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=ex−1f(x) = \mathrm{e}^{x} - 1，g(x)=−x2+4x−3g(x) = -x^{2} + 4x - 3，若有 f(a)=g(b)f(a) = g(b)，则 bb 的取值范围为（ ）
A.
[2−2,2+2][2 - \sqrt{2}, 2 + \sqrt{2}]
B.
(2−2,2+2)(2 - \sqrt{2}, 2 + \sqrt{2})
C.
[1,3][1,3]
D.
(1,3)(1,3)

2011 · 湖南 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09解析几何★★☆☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 C1C_1 的参数方程为
{x=2cos⁡α,y=3sin⁡α,\begin{cases} x = 2\cos \alpha,\\ y = \sqrt{3}\sin \alpha, \end{cases}
（α\alpha 为参数）在极坐标系（与直角坐标系 xOyxOy 取相同的长度单位，且以原点 OO 为极点，以 xx 轴正半轴为极轴）中，曲线 C2C_2 的方程为 ρ(cos⁡θ−sin⁡θ)+1=0\rho(\cos \theta - \sin \theta) + 1 = 0，则 C1C_1 与 C2C_2 的交点个数为______.

2011 · 湖南 · 文 · 第 9 题 · 填空题

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10数列★★★★☆
已知某试验范围为 [10,90][10,90]，若用分数法进行 44 次优选试验，则第二次试点可以是______.

2011 · 湖南 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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11数列★★☆☆☆
若执行如图所示的框图，输入 x1=1x_{1} = 1，x2=2x_{2} = 2，x3=4x_{3} = 4，x4=8x_{4} = 8，则输出的数等于______.

2011 · 湖南 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12函数与初等函数★☆☆☆☆
已知 f(x)f(x) 为奇函数，g(x)=f(x)+9g(x) = f(x) + 9，g(−2)=3g(-2) = 3，则 f(2)=f(2) =______.

2011 · 湖南 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13平面向量★★☆☆☆
设向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a∣=25|\boldsymbol{a}| = 2\sqrt{5}，b=(2,1)\boldsymbol{b} = (2, 1)，且 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的方向相反，则 a\boldsymbol{a} 的坐标为______.

2011 · 湖南 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14不等式★★★☆☆
设 m>1m > 1，在约束条件
{y⩾x,y⩽mx,x+y⩽1\begin{cases} y \geqslant x,\\ y \leqslant mx,\\ x + y \leqslant 1 \end{cases}
下目标函数 z=x+5yz = x + 5y 的最大值为 44，则 mm 的值为______.

2011 · 湖南 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★★★☆
已知圆 C:x2+y2=12C: x^{2} + y^{2} = 12，直线 l:4x+3y=25l: 4x + 3y = 25.
(1) 圆 CC 的圆心到直线 ll 的距离为______； (2) 圆 CC 上任意一点 AA 到直线 ll 的距离小于 2 的概率为______.

2011 · 湖南 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16函数与初等函数★★★☆☆
给定 k∈N∗k \in \mathbf{N}^*，设函数 f:N∗→N∗f: \mathbf{N}^* \to \mathbf{N}^* 满足：对于任意大于 kk 的正整数 nn，f(n)=n−kf(n) = n - k.
(1) 设 k=1k = 1，则其中一个函数 ff 在 n=1n = 1 处的函数值为______； (2) 设 k=4k = 4，且当 n⩽4n \leqslant 4 时，2⩽f(n)⩽32 \leqslant f(n) \leqslant 3，则不同的函数 ff 的个数为______.

2011 · 湖南 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc，且满足 csin⁡A=acos⁡Cc \sin A = a \cos C.
(1) 求角 CC 的大小； (2) 求 3sin⁡A−cos⁡(B+π4)\sqrt{3}\sin A - \cos\left(B + \frac{\pi}{4}\right) 的最大值，并求取得最大值时角 AA，BB 的大小.

2011 · 湖南 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★☆☆☆
某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量 YY（单位：万千瓦时\text{万千瓦时}）与该河上游在六月份的降雨量 XX（单位：毫米\text{毫米}）有关，据统计，当 X=70X = 70 时，Y=460Y = 460；XX 每增加 1010，YY 增加 55. 已知近 2020 年 XX 的值为：140140，110110，160160，7070，200200，160160，140140，160160，220220，200200，110110，160160，160160，200200，140140，110110，160160，220220，140140，160160.
(1) 完成如下的频率分布表：
降雨量7070110110140140160160200200220220
(2) 假定今年六月份的降雨量与近 2020 年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于 490 万千瓦时490\text{ 万千瓦时} 或超过 530 万千瓦时530\text{ 万千瓦时} 的概率.

2011 · 湖南 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，在圆锥 POPO 中，已知 PO=2PO = \sqrt{2}，⊙O\odot O 的直径 AB=2AB = 2，点 CC 在 AB^\widehat{AB} 上，且 ∠CAB=30∘\angle CAB = 30^{\circ}，DD 为 ACAC 的中点.
(1) 证明： AC⊥AC \perp 平面 PODPOD； (2) 求直线 OCOC 和平面 PACPAC 所成角的正弦值.

2011 · 湖南 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20★☆☆☆☆
某企业在第11年初购买一台价值为 120 万元120\text{ 万元} 的设备 MM，MM 的价值在使用过程中逐年减少. 从第22年到第66年，每年初 MM 的价值比上年初减少 10 万元10\text{ 万元}；从第77年开始，每年初 MM 的价值为上年初的 75%75\%.
(1) 求第 nn 年初 MM 的价值 ana_{n} 的表达式； (2) 设 An=a1+a2+⋯+annA_{n} = \frac{a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n}}{n}，若 AnA_{n} 大于 80 万元80\text{ 万元}，则 MM 继续使用，否则须在第nn年初对 MM 更新，证明：须在第99年初对 MM 更新.

2011 · 湖南 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
已知平面内一动点 PP 到点 F(1,0)F(1,0) 的距离与点 PP 到 yy 轴的距离的差等于 11.
(1) 求动点 PP 的轨迹 CC 的方程； (2) 过点 FF 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1l_{1}，l2l_{2}，设 l1l_{1} 与轨迹 CC 相交于点 AA，BB，l2l_{2} 与轨迹 CC 相交于点 DD，EE，求 AD→⋅EB→\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{EB} 的最小值.

2011 · 湖南 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=x−1x−aln⁡xf(x) = x - \frac{1}{x} - a \ln x（a∈Ra \in \mathbf{R}）.
(1) 讨论函数 f(x)f(x) 的单调性. (2) 若 f(x)f(x) 有两个极值点 x1x_{1} 和 x2x_{2}，记过点 A(x1,f(x1))A(x_{1}, f(x_{1}))，B(x2,f(x2))B(x_{2}, f(x_{2})) 的直线斜率为 kk. 问：是否存在 aa，使得 k=2−ak = 2 - a？若存在，求出 aa 的值；若不存在，请说明理由.

2011 · 湖南 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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