已知数列 $\{a_n\}$ 为等比数列，$S_n$ 是它的前 $n$ 项和，若 $a_2 \cdot a_3 = 2a_1$，且 $a_4$ 与 $2a_7$ 的等差中项为 $\frac{5}{4}$，则 $S_5 =$（ ）

设函数 $f(x) = 3\sin \left(\omega x + \frac{\pi}{6}\right)$（$\omega > 0$，$x \in (-\infty, +\infty)$），且以 $\frac{\pi}{2}$ 为最小正周期.

(1) 求 $f(0)$； (2) 求 $f(x)$ 的解析式； (3) 已知 $f\left(\frac{\alpha}{4} + \frac{\pi}{12}\right) = \frac{9}{5}$，求 $\sin \alpha$ 的值.

某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了 100 名电视观众，相关的数据如下表所示：

(1) 由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？ (2) 用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取 5 名，大于 $40$ 岁的观众应该抽取几名？ (3) 在上述抽取的 5 名观众中任取 2 名，求恰有 1 名观众的年龄为 $20$ 至 $40$ 岁的概率.

如图，$\widehat{AEC}$ 是半径为 $a$ 的半圆，$AC$ 为直径，点 $E$ 为 $\widehat{AC}$ 的中点，点 $B$ 和点 $C$ 为线段 $AD$ 的三等分点，平面 $AEC$ 外一点 $F$ 满足 $FC \perp$ 平面 $BED$，$FB = \sqrt{5}a$.

(1) 证明：$EB \perp FD$； (2) 求点 $B$ 到平面 $FED$ 的距离.

某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐. 已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物，6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 $C$；一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物，6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 $C$. 另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个单位的碳水化合物，42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 $C$. 如果一个单位的午餐，晚餐的费用分别是 $2.5\text{ 元}$ 和 $4\text{ 元}$，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？