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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
若集合 A={0,1,2,3}A = \{0, 1, 2, 3\}，B={1,2,4}B = \{1, 2, 4\}，则集合 A∪B=A \cup B =（ ）
A.
{0,1,2,3,4}\{0, 1, 2, 3, 4\}
B.
{1,2,3,4}\{1, 2, 3, 4\}
C.
{1,2}\{1, 2\}
D.
{0}\{0\}

2010 · 广东 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 f(x)=lg⁡(x−1)f(x) = \lg(x - 1) 的定义域是（ ）
A.
(2,+∞)(2, +\infty)
B.
(1,+∞)(1, +\infty)
C.
[1,+∞)[1, +\infty)
D.
[2,+∞)[2, +\infty)

2010 · 广东 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03函数与初等函数★☆☆☆☆
若函数 f(x)=3x+3−xf(x) = 3^x + 3^{-x} 与 g(x)=3x−3−xg(x) = 3^x - 3^{-x} 的定义域均为 R\mathbf{R}，则（ ）
A.
f(x)f(x) 与 g(x)g(x) 均为偶函数
B.
f(x)f(x) 为奇函数，g(x)g(x) 为偶函数
C.
f(x)f(x) 与 g(x)g(x) 均为奇函数
D.
f(x)f(x) 为偶函数，g(x)g(x) 为奇函数

2010 · 广东 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 为等比数列，SnS_n 是它的前 nn 项和，若 a2⋅a3=2a1a_2 \cdot a_3 = 2a_1，且 a4a_4 与 2a72a_7 的等差中项为 54\frac{5}{4}，则 S5=S_5 =（ ）
A.
3535
B.
3333
C.
3131
D.
2929

2010 · 广东 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05平面向量★☆☆☆☆
若向量 a=(1,1)\boldsymbol{a} = (1, 1)，b=(2,5)\boldsymbol{b} = (2, 5)，c=(3,x)\boldsymbol{c} = (3, x) 满足条件 (8a−b)⋅c=30\left(8\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}\right) \cdot \boldsymbol{c} = 30，则 x=x =（ ）
A.
66
B.
55
C.
44
D.
33

2010 · 广东 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06解析几何★★☆☆☆
若圆心在 xx 轴上，半径为 5\sqrt{5} 的圆 OO 位于 yy 轴左侧，且与直线 x+2y=0x + 2y = 0 相切，则圆 OO 的方程是（ ）
A.
(x−5)2+y2=5\left(x - \sqrt{5}\right)^2 + y^2 = 5
B.
(x+5)2+y2=5\left(x + \sqrt{5}\right)^2 + y^2 = 5
C.
(x−5)2+y2=5(x - 5)^2 + y^2 = 5
D.
(x+5)2+y2=5(x + 5)^2 + y^2 = 5

2010 · 广东 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07解析几何★★☆☆☆
若一个椭圆长轴的长度，短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ）
A.
45\frac{4}{5}
B.
35\frac{3}{5}
C.
25\frac{2}{5}
D.
15\frac{1}{5}

2010 · 广东 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08集合与逻辑基础★☆☆☆☆
“x>0x > 0”是“x23>0\sqrt[3]{x^2} > 0”的（ ）
A.
充分非必要条件
B.
必要非充分条件
C.
非充分非必要条件
D.
充要条件

2010 · 广东 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09立体几何初步★★☆☆☆
如图，△ABC\triangle ABC 为正三角形，AA′∥BB′∥CC′AA' \parallel BB' \parallel CC'，CC′⊥CC' \perp 平面 ABCABC，且 3AA′=32BB′=CC′=AB3AA' = \frac{3}{2} BB' = CC' = AB，则多面体 ABC−A′B′C′ABC - A'B'C' 的正视图（也称主视图）是（ ）
A.
B.
C.
D.

2010 · 广东 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10集合与逻辑基础★☆☆☆☆
在集合 {a,b,c,d}\{a, b, c, d\} 上定义两种运算 ⊕\oplus 和 ⊗\otimes 如下：
| \begin{tabular}{c|cccc} ⊕\oplus | aa | bb | cc | dd | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | bb | bb | bb | bb | bb | | cc | cc | bb | cc | bb |
| dd | dd | bb | bb | dd \end{tabular} | \begin{tabular}{c|cccc} ⊗\otimes | aa | bb | cc | dd | | bb | aa | bb | cc | dd | | cc | aa | cc | cc | aa |
| dd | aa | dd | aa | dd \end{tabular} |
那么 d⊗(a⊕c)=d \otimes (a \oplus c) =（ ）
A.
aa
B.
bb
C.
cc
D.
dd

2010 · 广东 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11概率与统计★★☆☆☆
某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中 4 位居民的月均用水量分别为 x1x_1，⋯\cdots，x4x_4（单位：吨）. 根据如图所示的程序框图，若 x1x_1，x2x_2，x3x_3，x4x_4 分别为 1， 1.5， 1.5， 2，则输出的结果 ss 为______.

2010 · 广东 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12概率与统计★★☆☆☆
某市居民 2005--2009 年家庭年平均收入 xx（单位：万元）与年平均支出 YY（单位：万元）的统计资料如下表所示：
年份20052006200720082009
支出 YY6.88.89.81012
根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是______，家庭年平均收入与年平均支出有______（填“正”或“负”）线性相关关系.

2010 · 广东 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13三角函数★★☆☆☆
已知 aa，bb，cc 分别是 △ABC\triangle ABC 的三个内角 AA，BB，CC 所对的边. 若 a=1a = 1，b=3b = \sqrt{3}，A+C=2BA + C = 2B，则 sin⁡A=\sin A =______.

2010 · 广东 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14平面向量★★☆☆☆
如图，在直角梯形 ABCDABCD 中，DC∥ABDC \parallel AB，CB⊥ABCB \perp AB，AB=AD=aAB = AD = a，CD=a2CD = \frac{a}{2}，点 EE，FF 分别为线段 ABAB，ADAD 的中点，则 EF=EF =______.

2010 · 广东 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★☆☆☆
在极坐标系 (ρ,θ)(\rho, \theta)（0⩽θ<2π0 \leqslant \theta < 2\pi）中，曲线 ρ(cos⁡θ+sin⁡θ)=1\rho(\cos \theta + \sin \theta) = 1 与 ρ(sin⁡θ−cos⁡θ)=1\rho(\sin \theta - \cos \theta) = 1 的交点的极坐标为______.

2010 · 广东 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16三角函数★★★☆☆
设函数 f(x)=3sin⁡(ωx+π6)f(x) = 3\sin \left(\omega x + \frac{\pi}{6}\right)（ω>0\omega > 0，x∈(−∞,+∞)x \in (-\infty, +\infty)），且以 π2\frac{\pi}{2} 为最小正周期.
(1) 求 f(0)f(0)； (2) 求 f(x)f(x) 的解析式； (3) 已知 f(α4+π12)=95f\left(\frac{\alpha}{4} + \frac{\pi}{12}\right) = \frac{9}{5}，求 sin⁡α\sin \alpha 的值.

2010 · 广东 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了 100 名电视观众，相关的数据如下表所示：
文艺节目新闻节目总计
大于 4040 岁152742
(1) 由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？ (2) 用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取 5 名，大于 4040 岁的观众应该抽取几名？ (3) 在上述抽取的 5 名观众中任取 2 名，求恰有 1 名观众的年龄为 2020 至 4040 岁的概率.

2010 · 广东 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，AEC^\widehat{AEC} 是半径为 aa 的半圆，ACAC 为直径，点 EE 为 AC^\widehat{AC} 的中点，点 BB 和点 CC 为线段 ADAD 的三等分点，平面 AECAEC 外一点 FF 满足 FC⊥FC \perp 平面 BEDBED，FB=5aFB = \sqrt{5}a.
(1) 证明：EB⊥FDEB \perp FD； (2) 求点 BB 到平面 FEDFED 的距离.

2010 · 广东 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19不等式★★★☆☆
某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐. 已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物，6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 CC；一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物，6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 CC. 另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个单位的碳水化合物，42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 CC. 如果一个单位的午餐，晚餐的费用分别是 2.5 元2.5\text{ 元} 和 4 元4\text{ 元}，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？

2010 · 广东 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)f(x) 对任意实数 xx 均有 f(x)=kf(x+2)f(x) = kf(x + 2)，其中常数 kk 为负数，且 f(x)f(x) 在区间 [0,2][0, 2] 上有表达式 f(x)=x(x−2)f(x) = x(x - 2).
(1) 求 f(−1)f(-1)，f(2.5)f(2.5) 的值； (2) 写出 f(x)f(x) 在 [−3,3][-3, 3] 上的表达式，并讨论函数 f(x)f(x) 在 [−3,3][-3, 3] 上的单调性； (3) 求出 f(x)f(x) 在 [−3,3][-3, 3] 上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值.

2010 · 广东 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知曲线 Cn:y=nx2C_n: y = nx^2，点 Pn(xn,yn)P_n(x_n, y_n)（xn>0x_n > 0，yn>0y_n > 0）是曲线 CnC_n 上的点（n=1n = 1，22，⋯\cdots）.
(1) 试写出曲线 CnC_n 在点 PnP_n 处的切线 lnl_n 的方程，并求出 lnl_n 与 yy 轴的交点 QnQ_n 的坐标； (2) 若原点 O(0,0)O(0, 0) 到 lnl_n 的距离与线段 PnQnP_nQ_n 的长度之比取得最大值，试求点 PnP_n 的坐标 (xn,yn)(x_n, y_n)； (3) 设 mm 与 kk 为两个给定的不同的正整数，xnx_n 与 yny_n 是满足前一问条件的点 PnP_n 的坐标，证明：∑n=1s∣(m+1)xn2−(k+1)yn∣<∣ms−ks∣\sum_{n=1}^{s} \left| \sqrt{\frac{(m + 1)x_n}{2}} - \sqrt{(k + 1)y_n} \right| < \left| \sqrt{ms} - \sqrt{ks} \right|（s=1s = 1，22，⋯\cdots）.

2010 · 广东 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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