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11解析几何★★★☆☆
将直线 l1:nx+y−n=0l_1: nx + y - n = 0，l2:x+ny−n=0l_2: x + ny - n = 0 （n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，n⩾2n \geqslant 2），xx 轴，yy 轴围成的封闭区域的面积记为 SnS_n，则 lim⁡n→∞Sn=‾\displaystyle\lim_{n \to \infty} S_n =\underline{\hspace{2em}}.

2010 · 上海 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12立体几何初步★★★☆☆
如图所示，在边长为 4 的正方形纸片 ABCDABCD 中，ACAC 与 BDBD 相交于点 OO，剪去 △AOB\triangle AOB. 将剩余部分沿 OCOC，ODOD 折叠，使 OAOA，OBOB 重合，则以 A(B)A(B)，CC，DD，OO 为顶点的四面体的体积是______.

2010 · 上海 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13平面向量★★★☆☆
如图所示，直线 x=2x = 2 与双曲线 Γ:x24−y2=1\Gamma: \frac{x^2}{4} - y^2 = 1 的渐近线交于 E1E_1，E2E_2 两点，记 OE1→=e1\overrightarrow{OE_1} = \boldsymbol{e}_1，OE2→=e2\overrightarrow{OE_2} = \boldsymbol{e}_2，任取双曲线 Γ\Gamma 上的点 PP，若 OP→=ae1+be2\overrightarrow{OP} = a\boldsymbol{e}_1 + b\boldsymbol{e}_2（aa，b∈Rb \in \mathbf{R}），则 aa，bb 满足的一个等式是______.

2010 · 上海 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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17函数与初等函数★★★☆☆
若 x0x_0 是方程 (12)x=x13\left(\frac{1}{2}\right)^x = x^{\frac{1}{3}} 的解，则 x0x_0 属于区间（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 左边 (12)x\left(\frac12\right)^x 始终为正，所以方程的解必须满足 x>0x>0. 对 x>0x>0 两边取自然对数，得 xln⁡12=13ln⁡xx\ln\frac12=\frac13\ln x，即 x⋅8x=1\text{即 }x\cdot 8^x=1. 函数 g(x)=x8xg(x)=x8^x 在 x>0x>0 上严格递增，因为 g′(x)=8x(1+xln⁡8)>0g'(x)=8^x(1+x\ln8)>0，所以方程至多有一个正根.
又 g(13)=13⋅2=23<1g\left(\frac13\right)=\frac13\cdot2=\frac23<1，g(12)=12⋅8=2>1g\left(\frac12\right)=\frac12\cdot\sqrt8=\sqrt2>1. 由连续性，方程的根属于 (13,12)\left(\frac13,\frac12\right)，故选 C. \end{solution}
A.
(23,1)\left(\frac{2}{3},1\right)
B.
(12,23)\left(\frac{1}{2}, \frac{2}{3}\right)
C.
(13,12)\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{2}\right)
D.
(0,13)\left(0, \frac{1}{3}\right)

2010 · 上海 · 理 · 第 17 题 · 选择题

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18三角函数★★★☆☆
某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是 113\frac{1}{13}，111\frac{1}{11}，15\frac{1}{5}，则此人将（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 设三角形面积为 Δ\Delta，三条高分别为 hah_a，hbh_b，hch_c，对应边分别为 aa，bb，cc. 由 Δ=12aha=12bhb=12chc\Delta=\frac12ah_a=\frac12bh_b=\frac12ch_c，得边长之比为
a:b:c=1ha:1hb:1hc=13:11:5a:b:c=\frac1{h_a}:\frac1{h_b}:\frac1{h_c}=13:11:5
因为 11+5>1311+5>13，这三个数能作成三角形. 其中最长边为 1313，且
132=169>112+52=14613^2=169>11^2+5^2=146
由余弦定理的逆定理，最长边所对的角为钝角，所以应作出一个钝角三角形，选 D. \end{solution}
A.
不能作出满足要求的三角形
B.
作出一个锐角三角形
C.
作出一个直角三角形
D.
作出一个钝角三角形

2010 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 选择题

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21立体几何初步★★★☆☆
如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作 44 个全等的矩形骨架，总计耗用 9.6 米9.6\text{ 米} 铁丝. 骨架将圆柱底面 88 等分，再用 S 平方米S\text{ 平方米} 塑料片制成圆柱的侧面和下底面 （不安装上底面）.
(1) 当圆柱底面半径 rr 取何值时，SS 取得最大值？并求出该最大值 （结果精确到 0.01 平方米0.01\text{ 平方米}）； (2) 在灯笼内，以矩形骨架的顶点为端点，安装一些霓虹灯. 当灯笼底面半径为 0.3 米0.3\text{ 米} 时，求图中两根直线型霓虹灯 A1B3A_{1}B_{3}，A3B5A_{3}B_{5} 所在异面直线所成角的大小 （结果用反三角函数表示）.

2010 · 上海 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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