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01不等式★☆☆☆☆
不等式 2−xx+4>0\frac{2 - x}{x + 4} > 0 的解集为______.

2010 · 上海 · 理 · 第 1 题 · 填空题

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02复数★☆☆☆☆
若复数 z=1−2iz = 1 - 2\mathrm{i} （i\mathrm{i} 为虚数单位），则 z⋅z‾+z=‾z \cdot \overline{z} + z =\underline{\hspace{2em}}.

2010 · 上海 · 理 · 第 2 题 · 填空题

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03解析几何★☆☆☆☆
动点 PP 到点 F(2,0)F(2,0) 的距离与它到直线 x+2=0x + 2 = 0 的距离相等，则点 PP 的轨迹方程为______.

2010 · 上海 · 理 · 第 3 题 · 填空题

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04三角函数★☆☆☆☆
行列式
∣cos⁡π3sin⁡π6sin⁡π3cos⁡π6∣\begin{vmatrix} \cos \frac{\pi}{3} & \sin \frac{\pi}{6} \\ \sin \frac{\pi}{3} & \cos \frac{\pi}{6} \end{vmatrix}
的值是______.

2010 · 上海 · 理 · 第 4 题 · 填空题

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05解析几何★☆☆☆☆
圆 C:x2+y2−2x−4y+4=0C: x^{2} + y^{2} - 2x - 4y + 4 = 0 的圆心到直线 l:3x+4y+4=0l: 3x + 4y + 4 = 0 的距离 d=‾d =\underline{\hspace{2em}}.

2010 · 上海 · 理 · 第 5 题 · 填空题

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06概率与统计★☆☆☆☆
随机变量 ξ\xi 的概率分布由下表给出：
xx78910
则该随机变量 ξ\xi 的均值是______.

2010 · 上海 · 理 · 第 6 题 · 填空题

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07函数与初等函数★★☆☆☆
2010 年上海世博会园区每天 9:00 开园，20:00 停止入园. 在下边的框图中，SS 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，aa 表示整点报道前 1 个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入______.

2010 · 上海 · 理 · 第 7 题 · 填空题

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08指数函数与对数函数★★☆☆☆
对任意不等于 1 的正数 aa，函数 f(x)=log⁡a(x+3)f(x)=\log_{a}(x+3) 的反函数的图象都经过点 PP，则点 PP 的坐标为______.

2010 · 上海 · 理 · 第 8 题 · 填空题

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09概率与统计★☆☆☆☆
从一副混合后的扑克牌 （52 张52\text{ 张}） 中，随机抽取 11 张，事件 AA 为“抽得红桃 KK”，事件 BB 为“抽得为黑桃”，则概率 P(A∪B)=‾P(A \cup B) =\underline{\hspace{2em}}. （结果用最简分数表示）

2010 · 上海 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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10数列★★☆☆☆
在 nn 行 nn 列矩阵
(123⋯n−2n−1n234⋯n−1n1345⋯n12⋮⋱⋮⋱⋮⋯⋮n12⋯n−3n−2n−1)\begin{pmatrix}1&2&3&\cdots&n-2&n-1&n\\2&3&4&\cdots&n-1&n&1\\3&4&5&\cdots&n&1&2\\\vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots&\cdots&\vdots\\n&1&2&\cdots&n-3&n-2&n-1\end{pmatrix}
中，记位于第 ii 行第 jj 列的数为 aija_{ij}（ii，j=1j=1，22，⋯\cdots，nn）. 当 n=9n = 9 时，a11+a22+a33+⋯+a99=‾a_{11} + a_{22} + a_{33} + \cdots + a_{99} =\underline{\hspace{2em}}.

2010 · 上海 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11解析几何★★★☆☆
将直线 l1:nx+y−n=0l_1: nx + y - n = 0，l2:x+ny−n=0l_2: x + ny - n = 0 （n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，n⩾2n \geqslant 2），xx 轴，yy 轴围成的封闭区域的面积记为 SnS_n，则 lim⁡n→∞Sn=‾\displaystyle\lim_{n \to \infty} S_n =\underline{\hspace{2em}}.

2010 · 上海 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12立体几何初步★★★☆☆
如图所示，在边长为 4 的正方形纸片 ABCDABCD 中，ACAC 与 BDBD 相交于点 OO，剪去 △AOB\triangle AOB. 将剩余部分沿 OCOC，ODOD 折叠，使 OAOA，OBOB 重合，则以 A(B)A(B)，CC，DD，OO 为顶点的四面体的体积是______.

2010 · 上海 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13平面向量★★★☆☆
如图所示，直线 x=2x = 2 与双曲线 Γ:x24−y2=1\Gamma: \frac{x^2}{4} - y^2 = 1 的渐近线交于 E1E_1，E2E_2 两点，记 OE1→=e1\overrightarrow{OE_1} = \boldsymbol{e}_1，OE2→=e2\overrightarrow{OE_2} = \boldsymbol{e}_2，任取双曲线 Γ\Gamma 上的点 PP，若 OP→=ae1+be2\overrightarrow{OP} = a\boldsymbol{e}_1 + b\boldsymbol{e}_2（aa，b∈Rb \in \mathbf{R}），则 aa，bb 满足的一个等式是______.

2010 · 上海 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14计数原理与组合数学★★★★☆
从集合 U={a,b,c,d}U = \{a, b, c, d\} 的子集中选出 4 个不同的子集，需同时满足以下两个条件：
① ∅\varnothing，UU 都要选出； ② 对选出的任意两个子集 AA 和 BB，必有 A⊆BA \subseteq B 或 A⊇BA \supseteq B.
那么，共有______ 种不同的选法.

2010 · 上海 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15集合与逻辑基础★★☆☆☆
x=2kπ+π4x = 2k\pi + \frac{\pi}{4} （k∈Zk \in \mathbf{Z}） 是“tan⁡x=1\tan x = 1”成立的（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 设条件 pp：x=2kπ+π4x=2k\pi+\frac{\pi}{4}，k∈Zk\in\mathbf{Z}，条件 qq：tan⁡x=1\tan x=1. 若 pp 成立，则 tan⁡x=tan⁡(2kπ+π4)=1\tan x=\tan\left(2k\pi+\frac{\pi}{4}\right)=1，所以 pp 是 qq 的充分条件.
但 qq 的一般解为 x=kπ+π4x=k\pi+\frac{\pi}{4}，例如 x=5π4x=\frac{5\pi}{4} 满足 qq，却不能写成 2kπ+π42k\pi+\frac{\pi}{4}. 所以 pp 不是 qq 的必要条件，故选 A，即充分不必要条件. \end{solution}
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2010 · 上海 · 理 · 第 15 题 · 选择题

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16解析几何★☆☆☆☆
直线 ll 的参数方程是
{x=1+2t,y=2−t,\begin{cases} x = 1 + 2t,\\ y = 2 - t, \end{cases}
（t∈Rt \in \mathbf{R}），则 ll 的方向向量 d\boldsymbol{d} 可以是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 直线参数方程中 tt 的系数给出一个方向向量，因此直线 ll 的方向向量可取 d=(2,−1)\boldsymbol{d}=(2,-1). 方向向量的任意非零倍数都可以表示同一方向，而选项 C 中 (−2,1)=−(2,−1)(-2,1)=-(2,-1)，所以选 C. \end{solution}
A.
(1,2)(1,2)
B.
(2,1)(2,1)
C.
(−2,1)(-2,1)
D.
(1,−2)(1,-2)

2010 · 上海 · 理 · 第 16 题 · 选择题

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17函数与初等函数★★★☆☆
若 x0x_0 是方程 (12)x=x13\left(\frac{1}{2}\right)^x = x^{\frac{1}{3}} 的解，则 x0x_0 属于区间（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 左边 (12)x\left(\frac12\right)^x 始终为正，所以方程的解必须满足 x>0x>0. 对 x>0x>0 两边取自然对数，得 xln⁡12=13ln⁡xx\ln\frac12=\frac13\ln x，即 x⋅8x=1\text{即 }x\cdot 8^x=1. 函数 g(x)=x8xg(x)=x8^x 在 x>0x>0 上严格递增，因为 g′(x)=8x(1+xln⁡8)>0g'(x)=8^x(1+x\ln8)>0，所以方程至多有一个正根.
又 g(13)=13⋅2=23<1g\left(\frac13\right)=\frac13\cdot2=\frac23<1，g(12)=12⋅8=2>1g\left(\frac12\right)=\frac12\cdot\sqrt8=\sqrt2>1. 由连续性，方程的根属于 (13,12)\left(\frac13,\frac12\right)，故选 C. \end{solution}
A.
(23,1)\left(\frac{2}{3},1\right)
B.
(12,23)\left(\frac{1}{2}, \frac{2}{3}\right)
C.
(13,12)\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{2}\right)
D.
(0,13)\left(0, \frac{1}{3}\right)

2010 · 上海 · 理 · 第 17 题 · 选择题

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18三角函数★★★☆☆
某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是 113\frac{1}{13}，111\frac{1}{11}，15\frac{1}{5}，则此人将（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 设三角形面积为 Δ\Delta，三条高分别为 hah_a，hbh_b，hch_c，对应边分别为 aa，bb，cc. 由 Δ=12aha=12bhb=12chc\Delta=\frac12ah_a=\frac12bh_b=\frac12ch_c，得边长之比为
a:b:c=1ha:1hb:1hc=13:11:5a:b:c=\frac1{h_a}:\frac1{h_b}:\frac1{h_c}=13:11:5
因为 11+5>1311+5>13，这三个数能作成三角形. 其中最长边为 1313，且
132=169>112+52=14613^2=169>11^2+5^2=146
由余弦定理的逆定理，最长边所对的角为钝角，所以应作出一个钝角三角形，选 D. \end{solution}
A.
不能作出满足要求的三角形
B.
作出一个锐角三角形
C.
作出一个直角三角形
D.
作出一个钝角三角形

2010 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 选择题

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19三角函数★★☆☆☆
已知 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2}，化简： lg⁡(cos⁡x⋅tan⁡x+1−2sin⁡2x2)+lg⁡[2cos⁡(x−π4)]−lg⁡(1+sin⁡2x)\lg \left(\cos x \cdot \tan x + 1 - 2 \sin^2 \frac{x}{2}\right) + \lg \left[ \sqrt{2} \cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right) \right] - \lg (1 + \sin 2x).

2010 · 上海 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，且 Sn=n−5an−85S_{n} = n - 5a_{n} - 85，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*.
(1) 证明：{an−1}\{a_{n}-1\} 是等比数列； (2) 求数列 {Sn}\{S_n\} 的通项公式，并指出 nn 为何值时，SnS_n 取得最小值，并说明理由.

2010 · 上海 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21立体几何初步★★★☆☆
如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作 44 个全等的矩形骨架，总计耗用 9.6 米9.6\text{ 米} 铁丝. 骨架将圆柱底面 88 等分，再用 S 平方米S\text{ 平方米} 塑料片制成圆柱的侧面和下底面 （不安装上底面）.
(1) 当圆柱底面半径 rr 取何值时，SS 取得最大值？并求出该最大值 （结果精确到 0.01 平方米0.01\text{ 平方米}）； (2) 在灯笼内，以矩形骨架的顶点为端点，安装一些霓虹灯. 当灯笼底面半径为 0.3 米0.3\text{ 米} 时，求图中两根直线型霓虹灯 A1B3A_{1}B_{3}，A3B5A_{3}B_{5} 所在异面直线所成角的大小 （结果用反三角函数表示）.

2010 · 上海 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22不等式★★★★★
若实数 xx，yy，mm 满足 ∣x−m∣>∣y−m∣|x - m| > |y - m|，则称 xx 比 yy 远离 mm.
(1) 若 x2−1x^{2} - 1 比 1 远离 0，求 xx 的取值范围； (2) 对任意两个不相等的正数 aa，bb，证明： a3+b3a^3 + b^3 比 a2b+ab2a^2b + ab^2 远离 2abab2ab\sqrt{ab}； (3) 已知函数 f(x)f(x) 的定义域 D={x∣x≠kπ2+π4,k∈Z,x∈R}D = \left\{ x \mid x \neq \frac{k\pi}{2} + \frac{\pi}{4}, k \in \mathbf{Z}, x \in \mathbf{R} \right\}. 任取 x∈Dx \in D，f(x)f(x) 等于 sin⁡x\sin x 和 cos⁡x\cos x 中远离 00 的那个值. 写出函数 f(x)f(x) 的解析式，并指出它的基本性质 （结论不要求证明）.

2010 · 上海 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23解析几何★★★★★
已知椭圆 Γ\Gamma 的方程为 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0），点 PP 的坐标为 (−a,b)(-a, b).
(1) 若直角坐标平面上的点 MM，A(0,−b)A(0, -b)，B(a,0)B(a, 0) 满足 PM→=12(PA→+PB→)\overrightarrow{PM} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB})，求点 MM 的坐标； (2) 设直线 l1:y=k1x+pl_1: y = k_1x + p 交椭圆 Γ\Gamma 于 CC，DD 两点，交直线 l2:y=k2xl_2: y = k_2x 于点 EE. 若 k1⋅k2=−b2a2k_1 \cdot k_2 = -\frac{b^2}{a^2}，证明： EE 为 CDCD 的中点； (3) 对于椭圆 Γ\Gamma 上的点 Q(acos⁡θ,bsin⁡θ)Q(a\cos \theta, b\sin \theta) （0<θ<π0 < \theta < \pi） ，如果椭圆 Γ\Gamma 上存在不同的两点 P1P_1，P2P_2 使 PP1→+PP2→=PQ→\overrightarrow{PP_1} + \overrightarrow{PP_2} = \overrightarrow{PQ}，写出求作点 P1P_1，P2P_2 的步骤，并求出使 P1P_1，P2P_2 存在的 θ\theta 满足的条件.

2010 · 上海 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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