在 $\triangle ABC$ 中，$D$，$E$ 在边 $BC$ 上，且 $BD=DE=EC$，$AD=1$，$\angle DAE=\dfrac{\pi}{3}$，则 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ 的最大值为______.

平移对称法在几何学中具有重要的应用. 设平面直角坐标系 $xOy$ 中有一图形 $\Omega$，过 $\Omega$ 内任意一点 $P$ 作垂直于 $x$ 轴的直线 $l_P$，满足 $l_P\cap\Omega$ 为一线段. 现沿 $l_P$ 方向平移这些线段，使得它们的中点均在 $x$ 轴上，这样叫做平移对称法. 对于由 $-x^2+x+1$，$-x^2-x$，直线 $x=0$ 和直线 $x=1$ 围成的封闭图形 $\Omega$，对它进行一次平移对称，得到的图像大致为（ ）.

某兴趣班共$150\text{ 人}$，年龄分布及兴趣爱好统计如下：

(1) 现采用分层抽样抽取$30\text{ 人}$，其中抽到年龄在$[25,35)\text{ 岁}$的有多少人？ (2) 该兴趣班$150\text{ 人}$的平均年龄是多少？ (3) 现从$150\text{ 人}$中任意抽选$1\text{ 人}$，记抽到的学员年龄在$[35,45)$为事件$A$，记抽到学员爱好摄影为事件$B$. 事件$A$与$B$是否独立？请说明理由.

如图所示正四棱台 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$，其中 $AB=4$，$A_1B_1=2$.

(1) 当 $AA_1=2$ 时，求 $AA_1$ 和平面 $A_1B_1C_1D_1$ 所成角； (2) 证明：$AA_1\parallel$ 平面 $BC_1D$；若棱台高为 3，求三棱锥 $A_1-BC_1D$ 的体积.