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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={2,4}A=\{2,4\}，B={2,3,m}B=\{2,3,m\}，若 A⊆BA\subseteq B，则 m=‾m=\underline{\hspace{2em}}.

2026 · 上海 · 春季 · 第 1 题 · 填空题

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02不等式★☆☆☆☆
关于 xx 的不等式 x+2x−3<0\dfrac{x+2}{x-3}<0 的解集为______.

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03平面向量★☆☆☆☆
已知 a=(x,3)\boldsymbol{a}=(x,3)，b=(4,6)\boldsymbol{b}=(4,6)，若 a∥b\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}，则 x=‾x=\underline{\hspace{2em}}.

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04解析几何★☆☆☆☆
在平面直角坐标系中，点 (1,2)(1,2) 到直线 4x−3y+5=04x-3y+5=0 的距离为______.

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05计数原理与组合数学★★☆☆☆
在二项式 (1x+3x2)6\left(\dfrac1x+3x^2\right)^6 的展开式中，x−3x^{-3} 的系数为______.

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06不等式★★☆☆☆
若 a>0a>0，b>0b>0，且 a+2b=4a+2b=4，则 abab 的最大值为______.

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07计数原理与组合数学★☆☆☆☆
从5 人5\text{ 人}中选3 人3\text{ 人}去演讲，若甲一定去，则共有______ 种\text{ 种}选法.

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08解析几何★☆☆☆☆
已知点 PP 在抛物线 y2=4xy^2=4x 上，且点 PP 到焦点的距离是到 yy 轴距离的两倍，则点 PP 的横坐标为______.

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09复数★★☆☆☆
已知 m>1m>1，对于所有满足 ∣z∣=2|z|=2 的复数 zz，∣z−i∣|z-\mathrm{i}| 的最小值与 ∣z−m∣|z-m| 的最小值相同，则 m=‾m=\underline{\hspace{2em}}.

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10平面向量★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，DD，EE 在边 BCBC 上，且 BD=DE=ECBD=DE=EC，AD=1AD=1，∠DAE=π3\angle DAE=\dfrac{\pi}{3}，则 AB→⋅AC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} 的最大值为______.

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11解析几何★★★★☆
已知椭圆 Γ1:x2a2+y2=1\Gamma_1:\dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1（a>1a>1） 与椭圆 Γ2:x2b2+2+y2b2=1\Gamma_2:\dfrac{x^2}{b^2+2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 相交于 AA，BB，CC，DD 四点，且 Γ1\Gamma_1 和 Γ2\Gamma_2 的四个焦点在同一个圆上，则 b2=‾b^2=\underline{\hspace{2em}}.

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12三角函数★★★★☆
有一个油壶，壶身视为圆柱，壶嘴视为直线且不计容积，壶底直径 6.4 厘米6.4\text{ 厘米}，壶身高 16 厘米16\text{ 厘米}，壶内油液面高 12.1 厘米12.1\text{ 厘米}，壶嘴长 13.4 厘米13.4\text{ 厘米}，与壶身夹角 30∘30^\circ，壶嘴最低点距壶底 3 厘米3\text{ 厘米}. 将壶身向壶嘴方向至少转______ 度\text{ 度}可使油倒出（精确到 0.01∘0.01^\circ）.

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13数列★☆☆☆☆
下列数列中是等差数列也是等比数列的是（ ）.
A.
1，−1-1，1，−1-1，1
B.
1，2，3，4，5
C.
5，5，5，5，5
D.
1，2，3，5，7

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14不等式★★☆☆☆
已知 x>y>1x>y>1，则下列不等式恒成立的是（ ）.
A.
x>y2x>y^2
B.
xy>x+yxy>x+y
C.
x2>yx^2>y
D.
x+y>xyx+y>xy

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15函数与初等函数★★★☆☆
平移对称法在几何学中具有重要的应用. 设平面直角坐标系 xOyxOy 中有一图形 Ω\Omega，过 Ω\Omega 内任意一点 PP 作垂直于 xx 轴的直线 lPl_P，满足 lP∩Ωl_P\cap\Omega 为一线段. 现沿 lPl_P 方向平移这些线段，使得它们的中点均在 xx 轴上，这样叫做平移对称法. 对于由 −x2+x+1-x^2+x+1，−x2−x-x^2-x，直线 x=0x=0 和直线 x=1x=1 围成的封闭图形 Ω\Omega，对它进行一次平移对称，得到的图像大致为（ ）.
A.
B.
C.
D.

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16函数与初等函数★★★★☆
对于函数 y=f(x)y=f(x)，x∈Dx\in D，设 Af={(x,y)∣y≥f(x),x∈D}A_f=\{(x,y)\mid y\ge f(x),x\in D\}. 对于点集 MM，若存在 (x0,y0)∈M(x_0,y_0)\in M，使得任取 (x,y)∈M(x,y)\in M，总有 y≥y0y\ge y_0，则称 (x0,y0)(x_0,y_0) 为“最低点”. 对于函数 y=f(x)y=f(x) 和 y=g(x)y=g(x)，以下说法中正确的是（ ）.
A.
若 y=f(x)y=f(x) 和 y=g(x)y=g(x) 都有最小值，则 Af∩AgA_f\cap A_g 有最低点
B.
若 Af∩AgA_f\cap A_g 有最低点，则 y=f(x)y=f(x) 和 y=g(x)y=g(x) 都有最小值
C.
若 y=f(x)y=f(x) 或 y=g(x)y=g(x) 有最小值，则 Af∪AgA_f\cup A_g 有最低点
D.
若 Af∪AgA_f\cup A_g 有最低点，则 y=f(x)y=f(x) 或 y=g(x)y=g(x) 有最小值

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17概率与统计★★★☆☆
某兴趣班共150 人150\text{ 人}，年龄分布及兴趣爱好统计如下：
(1) 现采用分层抽样抽取30 人30\text{ 人}，其中抽到年龄在[25,35) 岁[25,35)\text{ 岁}的有多少人？ (2) 该兴趣班150 人150\text{ 人}的平均年龄是多少？ (3) 现从150 人150\text{ 人}中任意抽选1 人1\text{ 人}，记抽到的学员年龄在[35,45)[35,45)为事件AA，记抽到学员爱好摄影为事件BB. 事件AA与BB是否独立？请说明理由.

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18立体几何初步★★★☆☆
如图所示正四棱台 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1，其中 AB=4AB=4，A1B1=2A_1B_1=2.
(1) 当 AA1=2AA_1=2 时，求 AA1AA_1 和平面 A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 所成角； (2) 证明：AA1∥AA_1\parallel 平面 BC1DBC_1D；若棱台高为 3，求三棱锥 A1−BC1DA_1-BC_1D 的体积.

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19三角函数★★★★☆
已知 f(x)=sin⁡(ωx+φ)f(x)=\sin(\omega x+\varphi)（ω>0\omega>0，0<φ<π0<\varphi<\pi）.
(1) 当 ω=2\omega=2，f ⁣(π12)=0f\!\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=0，求函数 f(x)f(x) 在 x=0x=0 处的切线方程； (2) 若函数 f(x)f(x) 的最小正周期为 3π3\pi，且 f(x)=22f(x)=\dfrac{\sqrt2}{2} 在区间 [0,2026π)[0,2026\pi) 上恰好有 1351 个解，求 φ\varphi 的取值范围.

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20解析几何★★★★☆
已知双曲线 Γ:x22−y22=1\Gamma:\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{y^2}{2}=1，过点 M(m,0)M(m,0) 作不垂直于 xx 轴的直线 ll 交双曲线 Γ\Gamma 于 AA，BB 两点.
(1) 求双曲线 Γ\Gamma 的离心率； (2) 若点 A(3,1)A(\sqrt3,1)，点 BB 在双曲线的右支上，且 BB 是 AMAM 的中点，求直线 ll 的斜率； (3) 若 m>0m>0，F1F_1，F2F_2 分别是双曲线 Γ\Gamma 的左右焦点，A′A' 是 A 关于 yy 轴的对称点，若存在直线 ll 使得 F1A′→⋅F2B→=0\overrightarrow{F_1A'}\cdot\overrightarrow{F_2B}=0，求 mm 的取值范围.

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21函数与初等函数★★★★★
设 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的函数. 定义性质 PP：若对任意 x1x_1，x2∈Rx_2\in\mathbf{R}，当 ∣x1∣<∣x2∣|x_1|<|x_2| 时，f(x1)<f(x2)f(x_1)<f(x_2)，则称函数 f(x)f(x) 具有“性质 PP”.
(1) 判断函数 f(x)=exf(x)=\mathrm{e}^x 是否具有“性质 PP”； (2) 若分段函数
f(x)={ax,x≤0,x+b,x>0f(x)= \begin{cases} ax,&x\le0,\\ x+b,&x>0 \end{cases}
具有“性质 PP”，求所有满足条件的实数 aa，bb； (3) 已知 f(x)f(x) 的值域为 [0,1)[0,1)，且在 [0,+∞)[0,+\infty) 上是严格增函数，证明：f(x)f(x) 是偶函数的充要条件是 f(x)f(x) 具有“性质 PP”.

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