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07不等式★★★☆☆
若 2x+2y=12^{x} + 2^{y} = 1，则 x+yx + y 的取值范围是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 令 u=2xu=2^x，v=2yv=2^y，则 u>0u>0，v>0v>0，且 u+v=1u+v=1. 由均值不等式，0<uv⩽140<uv\leqslant\frac14，其中上界在 u=v=12u=v=\frac12 时取得；当 uu 趋近于 00 或 11 时，uvuv 趋近于 00，但不取 00. 因此
x+y=log⁡2(uv)⩽log⁡214=−2x+y=\log_2(uv)\leqslant\log_2\frac14=-2
且下方无界，故 x+y∈(−∞,−2]x+y\in(-\infty,-2]，选 D. \end{solution}
A.
[0,2][0,2]
B.
[−2,0][-2,0]
C.
[−2,+∞)[-2, +\infty)
D.
(−∞,−2](- \infty, -2]

2013 · 福建 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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09三角函数★★★☆☆
将函数 f(x)=sin⁡(2x+θ)f(x) = \sin (2x + \theta)（−π2<θ<π2-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}）的图象向右平移 φ\varphi（φ>0\varphi > 0）个单位长度后得到函数 g(x)g(x) 的图象. 若 f(x)f(x)，g(x)g(x) 的图象都经过点 P(0,32)P\left(0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)，则 φ\varphi 的值可以是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 函数图象向右平移 φ\varphi 个单位后，所得函数为 g(x)=f(x−φ)g(x)=f(x-\varphi). 因为 f(0)=32f(0)=\frac{\sqrt{3}}2，且 −π2<θ<π2-\frac\pi2<\theta<\frac\pi2，所以 sin⁡θ=32\sin\theta=\frac{\sqrt{3}}2 给出 θ=π3\theta=\frac\pi3. 又 g(0)=32g(0)=\frac{\sqrt{3}}2，故
sin⁡(π3−2φ)=32\sin\left(\frac\pi3-2\varphi\right)=\frac{\sqrt{3}}2
因为 sin⁡t=32\sin t=\frac{\sqrt3}{2} 的解为 t=π3+2kπt=\frac\pi3+2k\pi 或 t=2π3+2kπt=\frac{2\pi}3+2k\pi，取 π3−2φ=2π3−2π\frac\pi3-2\varphi=\frac{2\pi}3-2\pi，得到 φ=5π6\varphi=\frac{5\pi}{6}. 它满足 φ>0\varphi>0，故选 B. \end{solution}
A.
5π3\frac{5\pi}{3}
B.
5π6\frac{5\pi}{6}
C.
π2\frac{\pi}{2}
D.
π6\frac{\pi}{6}

2013 · 福建 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10平面向量★★★☆☆
在四边形 ABCDABCD 中，AC→=(1,2)\overrightarrow{AC} = (1, 2)，BD→=(−4,2)\overrightarrow{BD} = (-4, 2)，则该四边形的面积为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 四边形的面积等于两条对角线长度及其夹角正弦乘积的一半. 用向量坐标计算两条对角线的叉积：
∣AC→×BD→∣=∣1⋅2−2⋅(−4)∣=10\left|\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{BD}\right| =\left|1\cdot2-2\cdot(-4)\right|=10
所以四边形 ABCDABCD 的面积为 12×10=5\frac12\times10=5，故选 C. \end{solution}
A.
5\sqrt{5}
B.
252\sqrt{5}
C.
55
D.
1010

2013 · 福建 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11概率与统计★★★☆☆
已知 xx 与 yy 之间的几组数据如下表：
xx112233445566
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为 y^=b^x+a^\hat{y} = \hat{b}x + \hat{a}，若某同学根据上表中的前两组数据 (1,0)(1, 0) 和 (2,2)(2, 2) 求得的直线方程为 y=b′x+a′y = b'x + a'，则以下结论正确的是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 由表中数据得 xˉ=1+2+3+4+5+66=72\bar{x}=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac72，yˉ=0+2+1+3+3+46=136\bar{y}=\frac{0+2+1+3+3+4}{6}=\frac{13}{6}. 于是
∑i=16(xi−xˉ)2=(−52)2+(−32)2+(−12)2+(12)2+(32)2+(52)2=352\sum_{i=1}^{6}(x_i-\bar{x})^2 =\left(-\frac52\right)^2+\left(-\frac32\right)^2+\left(-\frac12\right)^2+\left(\frac12\right)^2+\left(\frac32\right)^2+\left(\frac52\right)^2=\frac{35}{2}
∑i=16(xi−xˉ)(yi−yˉ)=65+3+7+5+15+5512=252\sum_{i=1}^{6}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) =\frac{65+3+7+5+15+55}{12}=\frac{25}{2}
因此回归直线的斜率与截距分别为 b^=252352=57\hat b=\frac{\frac{25}{2}}{\frac{35}{2}}=\frac57，a^=yˉ−b^xˉ=136−57⋅72=−13\hat a=\bar y-\hat b\bar x=\frac{13}{6}-\frac57\cdot\frac72=-\frac13. 前两组数据确定的直线斜率、截距为 b′=2−02−1=2b'=\frac{2-0}{2-1}=2，a′=−2a'=-2. 于是 b^<b′\hat b<b'，a^>a′\hat a>a'，故选 C. \end{solution}
A.
b^>b′,a^>a′\hat{b} > b', \hat{a} > a'
B.
b^>b′\hat{b} > b'，a^<a′\hat{a} < a'
C.
b^<b′\hat{b} < b'，a^>a′\hat{a} > a'
D.
b^<b′\hat{b} < b'，a^<a′\hat{a} < a'

2013 · 福建 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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12导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，x0x_0 （x0≠0x_0 \neq 0）是 f(x)f(x) 的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 因为 x0x_0 是 f(x)f(x) 的极大值点，所以在 x0x_0 的某邻域内有 f(x)⩽f(x0)f(x)\leqslant f(x_0). 令 h(x)=−f(−x)h(x)=-f(-x)，当 xx 在 −x0-x_0 的相应邻域内时，−x-x 在 x0x_0 的邻域内，从而
h(x)=−f(−x)⩾−f(x0)=h(−x0)h(x)=-f(-x)\geqslant-f(x_0)=h(-x_0)
因此 −x0-x_0 是 h(x)=−f(−x)h(x)=-f(-x) 的极小值点，故选 D. \end{solution}
A.
∀x∈R,f(x)⩽f(x0)\forall x\in \mathbf{R},f(x)\leqslant f(x_0)
B.
−x0-x_0 是 f(−x)f(-x) 的极小值点
C.
−x0-x_0 是 −f(x)-f(x) 的极小值点
D.
−x0-x_0 是 −f(−x)-f(-x) 的极小值点

2013 · 福建 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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15解析几何★★★☆☆
椭圆 Γ:x2a2+y2b2=1\Gamma: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的左右焦点分别为 F1F_1，F2F_2，焦距为 2c2c. 若直线 y=3(x+c)y = \sqrt{3}(x + c) 与椭圆 Γ\Gamma 的一个交点 MM 满足 ∠MF1F2=2∠MF2F1\angle MF_1F_2 = 2\angle MF_2F_1，则该椭圆的离心率等于______.
\begin{answer} 3−1\sqrt{3}-1 \end{answer}
\begin{solution} 取左、右焦点分别为 F1=(−c,0)F_1=(-c,0)、F2=(c,0)F_2=(c,0). 直线 y=3(x+c)y=\sqrt3(x+c) 经过 F1F_1，其向右上方的射线与 xx 轴正方向的夹角为 60∘60^\circ. 若点 MM 在该直线的另一条射线上，则 ∠MF1F2=120∘\angle MF_1F_2=120^\circ，由题设得 ∠MF2F1=60∘\angle MF_2F_1=60^\circ，从而三角形在 MM 处的内角为 0∘0^\circ，与三角形非退化矛盾. 因此 MM 在向右上方的射线上，从而
∠MF1F2=60∘\angle MF_1F_2=60^\circ
由题设 ∠MF1F2=2∠MF2F1\angle MF_1F_2=2\angle MF_2F_1，得 ∠MF2F1=30∘\angle MF_2F_1=30^\circ，于是三角形 MF1F2MF_1F_2 在 MM 处为直角三角形. 因为 F1F2=2cF_1F_2=2c，所以由 30∘30^\circ-60∘60^\circ-90∘90^\circ 三角形的边长关系，MF1=cMF_1=c，MF2=3cMF_2=\sqrt3c.
点 MM 在椭圆上，故由椭圆定义
2a=MF1+MF2=(1+3)c2a=MF_1+MF_2=(1+\sqrt3)c
因此离心率
e=ca=21+3=3−1e=\frac ca=\frac{2}{1+\sqrt3}=\sqrt3-1
\end{solution}

2013 · 福建 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，PD⊥PD \perp 平面 ABCDABCD，AB∥DCAB \parallel DC，AB⊥ADAB \perp AD，BC=5BC = 5，DC=3DC = 3，AD=4AD = 4，∠PAD=60∘\angle PAD = 60^\circ.
(1) 当正视方向与向量 AD→\overrightarrow{AD} 的方向相同时，画出四棱锥 P−ABCDP-ABCD 的正视图 （要求标出尺寸，并写出演算过程）； (2) 若 MM 为 PAPA 的中点，求证： DM∥DM \parallel 平面 PBCPBC； (3) 求三棱锥 D−PBCD-PBC 的体积.

2013 · 福建 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
某工厂有 25 周岁以上（含 25 周岁）工人 300 名，25 周岁以下工人 200 名. 为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了 100 名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25 周岁以上（含 25 周岁）”和“25 周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成 5 组：[50,60)[50, 60)，[60,70)[60, 70)，[70,80)[70, 80)，[80,90)[80, 90)，[90,100][90, 100] 分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
(1) 从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人，求至少抽到一名“25 周岁以下组”工人的概率； (2) 规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成 2×22\times 2 列联表，并判断是否有 90%90\% 的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)\chi^2 = \frac{n(ad - bc)^2}{(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)}，P{χ2⩾k}P\left\{\chi^{2} \geqslant k\right\}
P{χ2⩾k}P\{\chi^2 \geqslant k\}0.1000.1000.0500.0500.0100.0100.0010.001
（注：此处公式也可以写成 K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2 = \frac{n(ad - bc)^2}{(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)}）
=0pt =0pt

2013 · 福建 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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