我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准 $x$（吨），一位居民的月用水量不超过 $x$ 的部分按平价收费，超出 $x$ 的部分按议价收费，为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年 $100$ 位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照 $[0,0.5)$，$[0.5,1)$，$\dots$，$[4,4.5)$ 分成 $9$ 组，制成了如图所示的频率分布直方图.

(1) 求直方图中的 $a$ 值； (2) 设该市有 $30$ 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 $3$ 吨的人数，说明理由； (3) 估计居民月均用水量的中位数.

在 $\triangle ABC$ 中，角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别是 $a$，$b$，$c$，且 $\dfrac{\cos A}{a}+\dfrac{\cos B}{b}=\dfrac{\sin C}{c}$.

(1) 证明：$\sin A\sin B=\sin C$； (2) 若 $b^2+c^2-a^2=\dfrac65bc$，求 $\tan B$.

已知数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $1$，$S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，$S_{n+1}=qS_n+1$，其中 $q>0$，$n\in\mathbf{N}^*$.

(1) 若 $a_2$，$a_3$，$a_2+a_3$ 成等差数列，求 $\{a_n\}$ 的通项公式； (2) 设双曲线 $x^2-\dfrac{y^2}{a_n^2}=1$ 的离心率为 $e_n$，且 $e_2=2$，求 $e_1^2+e_2^2+\cdots+e_n^2$.