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01复数★☆☆☆☆
设 i\mathrm{i} 为虚数单位，则复数 (1+i)2=\left( 1+\mathrm{i} \right)^2=（ ）
A.
00
B.
22
C.
2i2\mathrm{i}
D.
2+2i2+2\mathrm{i}

2016 · 四川 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设集合 A={x∣1≤x≤5}A=\{x\mid 1\le x\le 5\}，Z\mathbf{Z} 为整数集，则集合 A∩ZA\cap \mathbf{Z} 中元素的个数是（ ）
A.
66
B.
55
C.
44
D.
33

2016 · 四川 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03解析几何★☆☆☆☆
抛物线 y2=4xy^2=4x 的焦点坐标是（ ）
A.
(0,2)(0,2)
B.
(0,1)(0,1)
C.
(2,0)(2,0)
D.
(1,0)(1,0)

2016 · 四川 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04三角函数★☆☆☆☆
为了得到函数 y=sin⁡(x+π3)y=\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right) 的图象，只需把函数 y=sin⁡xy=\sin x 的图象上所有的点（ ）
A.
向左平行移动 π3\dfrac{\pi}{3} 个单位长度
B.
向右平行移动 π3\dfrac{\pi}{3} 个单位长度
C.
向上平行移动 π3\dfrac{\pi}{3} 个单位长度
D.
向下平行移动 π3\dfrac{\pi}{3} 个单位长度

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05集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 pp：实数 xx，yy 满足 x>1x>1 且 y>1y>1，qq：实数 xx，yy 满足 x+y>2x+y>2，则 pp 是 qq 的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2016 · 四川 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06导数及其应用★★☆☆☆
已知 aa 为函数 f(x)=x3−12xf(x)=x^3-12x 的极小值点，则 a=a=（ ）
A.
−4-4
B.
−2-2
C.
44
D.
22

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07函数与初等函数★★☆☆☆
公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入. 若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%12\%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是（ ）
（参考数据：lg⁡1.12≈0.05\lg 1.12\approx0.05，lg⁡1.3≈0.11\lg 1.3\approx0.11，lg⁡2≈0.30\lg 2\approx0.30）
A.
20182018 年
B.
20192019 年
C.
20202020 年
D.
20212021 年

2016 · 四川 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08计数原理与组合数学★★☆☆☆
秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法. 如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 nn，xx 的值分别为 3,23,2，则输出 vv 的值为（ ）
A.
99
B.
1818
C.
2020
D.
3535

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09平面向量★★★★☆
已知正三角形 ABCABC 的边长为 232\sqrt3，平面 ABCABC 内的动点 PP，MM 满足 ∣AP→∣=1\left| \overrightarrow{AP} \right|=1，PM→=MC→\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{MC}，则 ∣BM→∣2\left| \overrightarrow{BM} \right|^2 的最大值是（ ）
A.
434\dfrac{43}{4}
B.
494\dfrac{49}{4}
C.
37+634\dfrac{37+6\sqrt3}{4}
D.
37+2334\dfrac{37+2\sqrt{33}}{4}

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10导数及其应用★★★★☆
设直线 l1l_1，l2l_2 分别是函数
f(x)={−ln⁡x,0<x<1,ln⁡x,x>1,f(x)=\begin{cases} -\ln x,&0<x<1,\\ \ln x,&x>1, \end{cases}
图象上点 P1P_1，P2P_2 处的切线，l1l_1 与 l2l_2 垂直相交于点 PP，且 l1l_1，l2l_2 分别与 yy 轴相交于点 AA，BB，则 △PAB\triangle PAB 的面积的取值范围是（ ）
A.
(0,1)(0,1)
B.
(0,2)(0,2)
C.
(0,+∞)(0,+\infty)
D.
(1,+∞)(1,+\infty)

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11三角函数★☆☆☆☆
sin⁡750∘=‾\sin750^\circ=\underline{\hspace{2em}}

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12立体几何初步★★☆☆☆
已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是______.

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13概率与统计★★☆☆☆
从 22，33，88，99 任取两个不同的数值，分别记为 aa，bb，则 log⁡ab\log_a b 为整数的概率是______.

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14函数与初等函数★★☆☆☆
若函数 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的周期为 22 的奇函数，当 0<x<10<x<1 时，f(x)=4xf(x)=4^x，则 f ⁣(−52)+f(2)=‾f\!\left(-\dfrac52\right)+f(2)=\underline{\hspace{2em}}.

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15函数与初等函数★★★★☆
在平面直角坐标系中，当 P(x,y)P(x,y) 不是原点时，定义 PP 的“伴随点”为 P′ ⁣(yx2+y2,−xx2+y2)P'\!\left( \dfrac{y}{x^2+y^2},-\dfrac{x}{x^2+y^2} \right)；当 PP 是原点时，定义 PP 的“伴随点”为它自身. 平面曲线 CC 上所有点的“伴随点”所构成的曲线 C′C' 定义为曲线 CC 的“伴随曲线”，现有下列命题：
① 若点 AA 的“伴随点”是点 A′A'，则点 A′A' 的“伴随点”是点 AA； ② 单位圆上的“伴随点”仍在单位圆上； ③ 若两点关于 xx 轴对称，则他们的“伴随点”关于 yy 轴对称； ④ 若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线.
其中的真命题是______. （写出所有真命题的序列）

2016 · 四川 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16概率与统计★★★☆☆
我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准 xx（吨），一位居民的月用水量不超过 xx 的部分按平价收费，超出 xx 的部分按议价收费，为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年 100100 位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照 [0,0.5)[0,0.5)，[0.5,1)[0.5,1)，…\dots，[4,4.5)[4,4.5) 分成 99 组，制成了如图所示的频率分布直方图.
(1) 求直方图中的 aa 值； (2) 设该市有 3030 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 33 吨的人数，说明理由； (3) 估计居民月均用水量的中位数.

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17立体几何初步★★★★☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，PA⊥CDPA\perp CD，AD∥BCAD\parallel BC，∠ADC=∠PAB=90∘\angle ADC=\angle PAB=90^\circ，BC=CD=12ADBC=CD=\dfrac12 AD.
(1) 在平面 PADPAD 内找一点 MM，使得直线 CM∥CM\parallel 平面 PABPAB，并说明理由； (2) 证明：平面 PAB⊥PAB\perp 平面 PBDPBD.

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18三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 所对的边分别是 aa，bb，cc，且 cos⁡Aa+cos⁡Bb=sin⁡Cc\dfrac{\cos A}{a}+\dfrac{\cos B}{b}=\dfrac{\sin C}{c}.
(1) 证明：sin⁡Asin⁡B=sin⁡C\sin A\sin B=\sin C； (2) 若 b2+c2−a2=65bcb^2+c^2-a^2=\dfrac65bc，求 tan⁡B\tan B.

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19数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 的首项为 11，SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，Sn+1=qSn+1S_{n+1}=qS_n+1，其中 q>0q>0，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*.
(1) 若 a2a_2，a3a_3，a2+a3a_2+a_3 成等差数列，求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 设双曲线 x2−y2an2=1x^2-\dfrac{y^2}{a_n^2}=1 的离心率为 ene_n，且 e2=2e_2=2，求 e12+e22+⋯+en2e_1^2+e_2^2+\cdots+e_n^2.

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20解析几何★★★★☆
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点 P ⁣(3,12)P\!\left(\sqrt3,\dfrac12\right) 在椭圆 EE 上.
(1) 求椭圆 EE 的方程； (2) 设不过原点 OO 且斜率为 12\dfrac12 的直线 ll 与椭圆 EE 交于不同的两点 AA，BB，线段 ABAB 的中点为 MM，直线 OMOM 与椭圆 EE 交于 CC，DD，证明：∣MA∣⋅∣MB∣=∣MC∣⋅∣MD∣|MA|\cdot|MB|=|MC|\cdot|MD|.

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21导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=ax2−a−ln⁡xf(x)=ax^2-a-\ln x，g(x)=1x−eexg(x)=\dfrac1x-\dfrac{\mathrm{e}}{\mathrm{e}^x}，其中 a∈Ra\in\mathbf{R}，e=2.718…\mathrm{e}=2.718\ldots 为自然对数的底数.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 证明：当 x>1x>1 时，g(x)>0g(x)>0； (3) 确定 aa 的所有可能取值，使得 f(x)>g(x)f(x)>g(x) 在区间 (1,+∞)(1,+\infty) 内恒成立.

2016 · 四川 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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