用数字 $1$，$2$，$3$，$4$，$5$ 可以组成没有重复数字，并且比 $20000$ 大的五位偶数共有（ ）

如图，在正三棱柱 $ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$ 中，侧棱长为 $\sqrt{2}$，底面三角形的边长为 1，则 $BC_{1}$ 与侧面 $ACC_{1}A_{1}$ 所成的角是______.

已知 $\odot O$ 的方程是 $x^{2} + y^{2} - 2 = 0$，$\odot O'$ 的方程是 $x^{2} + y^{2} - 8x + 10 = 0$，由动点 $P$ 向 $\odot O$ 和 $\odot O'$ 所引的切线长相等，则动点 $P$ 的轨迹方程是______.

下面有五个命题：

① 函数 $y = \sin^4 x - \cos^4 x$ 的最小正周期是 $\pi$； ② 终边在 $y$ 轴上的角的集合是 $\left\{ \alpha \mid \alpha = \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbf{Z} \right\}$； ③ 在同一坐标系中，函数 $y = \sin x$ 的图象和函数 $y = x$ 的图象有 $3$ 个公共点； ④ 把函数 $y = 3\sin \left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{6}$ 得到 $y = 3\sin 2x$ 的图象； ⑤ 角 $\theta$ 为第一象限角的充要条件是 $\sin \theta > 0$.

其中真命题的序号是______.（写出所有）

厂家在产品出厂前，需对产品做检验. 厂家对一批产品发给商家的，商家按合同规定抽取一定数量的产品做检验，以决定是否验收这些产品.

(1) 若厂家库房中的每件产品合格的概率为 $0.3$，从中任意取出 $4$ 件进行检验，求至少有 $1$ 件是合格产品的概率； (2) 若厂家发给商家 $20$ 件产品，其中有 $3$ 件不合格，按合同规定该商家从中任取 $2$ 件，来进行检验，只有 $2$ 件产品合格时才接收这些产品. 否则拒收，分别求出该商家计算出不合格产品为 $1$ 件和 $2$ 件的概率，并求该商家拒收这些产品的概率.

设函数 $f(x) = ax^3 + bx + c$（$a \neq 0$）为奇函数，其图象在点 $(1, f(1))$ 处的切线与直线 $x - 6y - 7 = 0$ 垂直，导函数 $f'(x)$ 的最小值为 $-12$.

(1) 求 $a$，$b$，$c$ 的值； (2) 求函数 $f(x)$ 的单调递增区间，并求函数 $f(x)$ 在 $[-1,3]$ 上的最大值和最小值.