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11导数及其应用★★★☆☆
如果函数 y=f(x)y = f(x) 的图象如下图，那么导函数 y=f′(x)y = f'(x) 的图象可能是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 由题图可知，函数 f(x)f(x) 先增后减，再增后减，因此 f′(x)f'(x) 的符号应依次为正、负、正、负；在 f(x)f(x) 的三个极值点处，f′(x)=0f'(x)=0. 选项 A 的图象具有上述符号变化和零点位置，其他选项至少有一处与 f(x)f(x) 的单调性不符，故选 A. \end{solution}
A.
B.
C.
D.

2008 · 福建 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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15立体几何初步★★★☆☆
若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 3\sqrt{3}，则其外接球的表面积是______.
\begin{answer} 9π9\pi \end{answer}
\begin{solution} 设三棱锥的顶点为 OO，底面顶点为 AA，BB，CC. 由于三个侧面两两垂直，可取 OAOA，OBOB，OCOC 为互相垂直的三条坐标轴，并设 A=(3,0,0)A=(\sqrt3,0,0)，B=(0,3,0)B=(0,\sqrt3,0)，C=(0,0,3)C=(0,0,\sqrt3)，O=(0,0,0)O=(0,0,0).
外接球球心到 OO，AA，BB，CC 的距离相等. 由对称性球心为 Q=(32,32,32)Q=\left(\frac{\sqrt3}{2},\frac{\sqrt3}{2},\frac{\sqrt3}{2}\right)，其半径满足 R=QO=3(32)2=32R=QO=\sqrt{3\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2}=\frac32. 因此外接球的表面积为 4πR2=4π(32)2=9π4\pi R^2=4\pi\left(\frac32\right)^2=9\pi. \end{solution}

2008 · 福建 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16集合与逻辑基础★★★☆☆
设 PP 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意 aa，b∈Pb \in P，都有 a+ba+b，a−ba-b，abab，ab∈P\frac{a}{b} \in P（除数 b≠0b \neq 0），则称 PP 是一个数域. 例如有理数集 Q\mathbf{Q} 是数域. 有下列命题：
① 数域必含有 0,10,1 两个数； ② 整数集是数域； ③ 若有理数集 Q⊆M\mathbf{Q} \subseteq M，则数集 MM 必为数域； ④ 数域必为无限集.
其中正确的命题的序号是______.（把你认为正确的命题的序号都填上）
\begin{answer} \circled1\circled{1}，\circled4\circled{4} \end{answer}
\begin{solution} 判断四个命题如下.
（1）取数域 PP 中两个不同的数 aa，bb. 因为 a−b∈Pa-b\in P 且 a−b≠0a-b\neq0，所以 1=a−ba−b∈P1=\frac{a-b}{a-b}\in P，再由封闭性得 0=1−1∈P0=1-1\in P，命题正确.
（2）整数集不是数域，因为 11，2∈Z2\in\mathbf{Z}，但 12∉Z\frac12\notin\mathbf{Z}，命题错误.
（3）例如取 M=Q∪{2}M=\mathbf{Q}\cup\{\sqrt2\}. 虽然 Q⊆M\mathbf{Q}\subseteq M，但 1+2∉M1+\sqrt2\notin M，所以 MM 不一定是数域，命题错误.
（4）数域含有 11，由加法封闭性含有 11，22，33，…\ldots，这些数两两不同，因此数域必为无限集，命题正确. 所以正确命题的序号为 \circled1\circled{1}，\circled4\circled{4}. \end{solution}

2008 · 福建 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
已知向量 m=(sin⁡A,cos⁡A)\boldsymbol{m} = (\sin A, \cos A)，n=(1,−2)\boldsymbol{n} = (1, -2)，且 m⋅n=0\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n} = 0.
(1) 求 tan⁡A\tan A 的值； (2) 求函数 f(x)=cos⁡2x+4cos⁡Asin⁡xf(x) = \cos 2x + 4\cos A \sin x（x∈Rx \in \mathbf{R}）的值域.

2008 · 福建 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，侧面 PAD⊥PAD \perp 底面 ABCDABCD，侧棱 PA=PD=2PA = PD = \sqrt{2}，底面 ABCDABCD 为直角梯形，其中 BC∥ADBC \parallel AD，AB⊥ADAB \perp AD，AD=2AB=2BC=2AD = 2AB = 2BC = 2，OO 为 ADAD 中点.
(1) 求证：PO⊥PO \perp 平面 ABCDABCD； (2) 求异面直线 PBPB 与 CDCD 所成角的余弦值； (3) 求点 AA 到平面 PCDPCD 的距离.

2008 · 福建 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_{n}\} 是正数组成的数列，a1=1a_{1} = 1，且点 (an,an+1)(\sqrt{a_{n}}, a_{n+1})（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）在函数 y=x2+1y = x^{2} + 1 的图象上.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 若数列 {bn}\{b_{n}\} 满足 b1=1b_{1}=1，bn+1=bn+2anb_{n+1}=b_{n}+2^{a_{n}}，求证：bn⋅bn+2<bn+12b_{n}\cdot b_{n+2}<b_{n+1}^{2}.

2008 · 福建 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=x3+mx2+nx−2f(x) = x^3 + mx^2 + nx - 2 的图象过点 (−1,−6)(-1, -6)，且函数 g(x)=f′(x)+6xg(x) = f'(x) + 6x 的图象关于 yy 轴对称.
(1) 求 mm，nn 的值及函数 y=f(x)y = f(x) 的单调区间； (2) 若 a>0a > 0，求函数 y=f(x)y = f(x) 在区间 (a−1,a+1)(a - 1, a + 1) 内的极值.

2008 · 福建 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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