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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
若集合 A={x∣x2−x<0}A = \{x \mid x^2 - x < 0\}，B={x∣0<x<3}B = \{x \mid 0 < x < 3\}，则 A∩BA \cap B 等于（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 由 x2−x=x(x−1)<0x^2-x=x(x-1)<0，得 0<x<10<x<1，所以 A={x∣0<x<1}A=\{x\mid 0<x<1\}. 又 B={x∣0<x<3}B=\{x\mid 0<x<3\}，因此 A∩B={x∣0<x<1}A\cap B=\{x\mid 0<x<1\}，故选 A. \end{solution}
A.
{x∣0<x<1}\{x \mid 0 < x < 1\}
B.
{x∣0<x<3}\{x \mid 0 < x < 3\}
C.
{x∣1<x<3}\{x \mid 1 < x < 3\}
D.
∅\varnothing

2008 · 福建 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★★☆☆☆
“ a=1a = 1 ”是“直线 x+y=0x + y = 0 和直线 x−ay=0x - ay = 0 互相垂直”的（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 直线 x+y=0x+y=0 的一个方向向量为 (1,−1)(1,-1)，直线 x−ay=0x-ay=0 的一个方向向量为 (a,1)(a,1). 两直线互相垂直当且仅当 (1,−1)⋅(a,1)=a−1=0(1,-1)\cdot(a,1)=a-1=0，即 a=1a=1. 因此“a=1a=1”既是两直线互相垂直的充分条件，也是必要条件，故选 C. \end{solution}
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2008 · 福建 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03数列★★☆☆☆
设 {an}\{a_{n}\} 是等差数列，若 a2=3a_{2} = 3，a7=13a_{7} = 13，则数列 {an}\{a_{n}\} 前 8 项的和为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 设等差数列 {an}\{a_n\} 的公差为 dd. 由 a7=a2+5da_7=a_2+5d，得 5d=a7−a2=13−3=105d=a_7-a_2=13-3=10，所以 d=2d=2，a1=a2−d=3−2=1a_1=a_2-d=3-2=1. 因此前 8 项的和为 S8=82(2a1+7d)=4(2×1+7×2)=64S_8=\frac{8}{2}\bigl(2a_1+7d\bigr)=4\bigl(2\times1+7\times2\bigr)=64，故选 C. \end{solution}
A.
128
B.
80
C.
64
D.
56

2008 · 福建 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)=x3+sin⁡x+1f(x) = x^3 + \sin x + 1（x∈Rx \in \mathbf{R}），若 f(a)=2f(a) = 2，则 f(−a)f(-a) 的值为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 由 f(a)=2f(a)=2，得 a3+sin⁡a=1a^3+\sin a=1. 又 f(−a)=(−a)3+sin⁡(−a)+1=−a3−sin⁡a+1=0f(-a)=(-a)^3+\sin(-a)+1=-a^3-\sin a+1=0，故选 B. \end{solution}
A.
3
B.
0
C.
−1-1
D.
−2-2

2008 · 福建 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05概率与统计★☆☆☆☆
某一批花生种子，如果每 1 粒发芽的概率为 45\frac{4}{5}，那么播下 3 粒种子恰有 2 粒发芽的概率是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 设三粒种子发芽的事件分别为 A1A_1，A2A_2，A3A_3. 由独立性，恰有两粒发芽包括三种互不相容的情形，因此
P=P(A1A2A3‾)+P(A1A2‾A3)+P(A1‾A2A3)=(45)215+451545+15(45)2=3(45)215=48125P=P(A_1A_2\overline{A_3})+P(A_1\overline{A_2}A_3)+P(\overline{A_1}A_2A_3) =\left(\frac45\right)^2\frac15+\frac45\frac15\frac45+\frac15\left(\frac45\right)^2 =3\left(\frac45\right)^2\frac15=\frac{48}{125}
所以选 C. \end{solution}
A.
12125\frac{12}{125}
B.
16125\frac{16}{125}
C.
48125\frac{48}{125}
D.
96125\frac{96}{125}

2008 · 福建 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06立体几何初步★★☆☆☆
如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，AB=BC=2AB = BC = 2，AA1=1AA_{1} = 1，则 AC1AC_{1} 与平面 A1B1C1D1A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 所成角的正弦值为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 线段 AC1AC_1 在平面 A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 上的射影为 A1C1A_1C_1. 由 AB=BC=2AB=BC=2，得 A1C1=AB2+BC2=22A_1C_1=\sqrt{AB^2+BC^2}=2\sqrt2. 又 AA1=1AA_1=1，所以 AC1=A1C12+AA12=8+1=3AC_1=\sqrt{A_1C_1^2+AA_1^2}=\sqrt{8+1}=3. 设 AC1AC_1 与该平面所成的角为 θ\theta，则 sin⁡θ=AA1AC1=13\sin\theta=\dfrac{AA_1}{AC_1}=\dfrac13，故选 D. \end{solution}
A.
223\frac{2\sqrt{2}}{3}
B.
23\frac{2}{3}
C.
24\frac{\sqrt{2}}{4}
D.
13\frac{1}{3}

2008 · 福建 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07三角函数★☆☆☆☆
函数 y=cos⁡xy = \cos x（x∈Rx \in \mathbf{R}）的图象向左平移 π2\frac{\pi}{2} 个单位后，得到函数 y=g(x)y = g(x) 的图象，则 g(x)g(x) 的解析式为（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 函数 y=cos⁡xy=\cos x 的图象向左平移 π2\frac\pi2 个单位，所得函数为 g(x)=cos⁡(x+π2)=−sin⁡xg(x)=\cos\left(x+\frac\pi2\right)=-\sin x，故选 A. \end{solution}
A.
−sin⁡x-\sin x
B.
sin⁡x\sin x
C.
−cos⁡x-\cos x
D.
cos⁡x\cos x

2008 · 福建 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08三角函数★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，若 a2+c2−b2=3aca^2 + c^2 - b^2 = \sqrt{3}ac，则角 BB 的值为（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 由余弦定理，b2=a2+c2−2accos⁡Bb^2=a^2+c^2-2ac\cos B. 结合题设得 2accos⁡B=3ac2ac\cos B=\sqrt3ac. 因为三角形边长 aa，c>0c>0，所以 cos⁡B=32\cos B=\frac{\sqrt3}{2}. 由于 0<B<π0<B<\pi，故 B=π6B=\frac\pi6，选 A. \end{solution}
A.
π6\frac{\pi}{6}
B.
π3\frac{\pi}{3}
C.
π6\frac{\pi}{6} 或 5π6\frac{5\pi}{6}
D.
π3\frac{\pi}{3} 或 2π3\frac{2\pi}{3}

2008 · 福建 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09计数原理与组合数学★★☆☆☆
某班级要从 4 名男生，2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务，如果要求至少有 1 名女生，那么不同的选派方案种数为（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 从 6 人中任取 4 人共有 C64\mathrm C_6^4 种方案，其中不含女生的方案只有从 4 名男生中全取，计 C44\mathrm C_4^4 种. 因而至少有 1 名女生的方案数为 C64−C44=15−1=14\mathrm C_6^4-\mathrm C_4^4=15-1=14，故选 A. \end{solution}
A.
14
B.
24
C.
28
D.
48

2008 · 福建 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10不等式★★☆☆☆
若实数 xx，yy 满足
{x−y+1⩽0,x>0,y⩽2,\begin{cases} x - y + 1 \leqslant 0,\\ x > 0,\\ y \leqslant 2, \end{cases}
则 yx\frac{y}{x} 的取值范围是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 由 x−y+1⩽0x-y+1\leqslant0，得 y⩾x+1y\geqslant x+1. 又 x>0x>0 且 y⩽2y\leqslant2，所以 x+1⩽2x+1\leqslant2，即 0<x⩽10<x\leqslant1. 因此
yx⩾x+1x=1+1x⩾2\frac yx\geqslant\frac{x+1}{x}=1+\frac1x\geqslant2
当 r⩾2r\geqslant2 时，取 x=1r−1x=\frac1{r-1}，y=rr−1y=\frac r{r-1}，则 0<x⩽10<x\leqslant1、y⩽2y\leqslant2、y⩾x+1y\geqslant x+1，且 yx=r\frac yx=r. 所以 yx\frac yx 的取值范围为 [2,+∞)[2,+\infty)，选 D. \end{solution}
A.
(0,2)(0,2)
B.
(0,2](0,2]
C.
(2,+∞)(2, +\infty)
D.
[2,+∞)[2, +\infty)

2008 · 福建 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11导数及其应用★★★☆☆
如果函数 y=f(x)y = f(x) 的图象如下图，那么导函数 y=f′(x)y = f'(x) 的图象可能是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 由题图可知，函数 f(x)f(x) 先增后减，再增后减，因此 f′(x)f'(x) 的符号应依次为正、负、正、负；在 f(x)f(x) 的三个极值点处，f′(x)=0f'(x)=0. 选项 A 的图象具有上述符号变化和零点位置，其他选项至少有一处与 f(x)f(x) 的单调性不符，故选 A. \end{solution}
A.
B.
C.
D.

2008 · 福建 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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12解析几何★★★★☆
双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1（a>0a > 0，b>0b > 0）的两个焦点为 F1F_1，F2F_2. 若 PP 为其上一点，且 ∣PF1∣=2∣PF2∣|PF_1| = 2|PF_2|，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 设双曲线半焦距为 cc，则离心率 e=cae=\frac ca，且 c2=a2+b2c^2=a^2+b^2，所以 e>1e>1. 双曲线的定义给出 ∣∣PF1∣−∣PF2∣∣=2a\left||PF_1|-|PF_2|\right|=2a. 设较短的焦半径为 rr，则由题设较长的焦半径为 2r2r，于是 r=2ar=2a，两焦半径分别为 2a2a，4a4a.
由三角形不等式，焦点间距离 2c2c 满足 2a⩽2c⩽6a2a\leqslant2c\leqslant6a，从而 1⩽e⩽31\leqslant e\leqslant3. 结合 b>0b>0 得 e>1e>1，故 1<e⩽31<e\leqslant3. 反过来，当 1<e⩽31<e\leqslant3 时，以两焦点为圆心、2a2a 和 4a4a 为半径的两圆满足交点存在条件 2a⩽2c⩽6a2a\leqslant2c\leqslant6a，交点即为满足题设距离比的双曲线上一点，因此范围确为 (1,3](1,3]，选 B. \end{solution}
A.
(1,3)(1,3)
B.
(1,3](1,3]
C.
(3,+∞)(3, +\infty)
D.
[3,+∞)[3, +\infty)

2008 · 福建 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x+1x)9\left(x + \frac{1}{x}\right)^9 展开式中 x2x^2 的系数是______.（用数字作答）
\begin{answer} 00 \end{answer}
\begin{solution} 按二项式定理，展开式的第 k+1k+1 项为 C9kx9−k(1x)k=C9kx9−2k\mathrm C_9^k x^{9-k}\left(\frac1x\right)^k=\mathrm C_9^k x^{9-2k}，其中 k=0k=0，11，…\ldots，99. 指数 9−2k9-2k 始终为奇数，不可能等于 2，所以展开式中没有 x2x^2 项，其系数为 00. \end{solution}

2008 · 福建 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★☆☆☆
若直线 3x+4y+m=03x + 4y + m = 0 与圆 x2+y2−2x+4y+4=0x^{2} + y^{2} - 2x + 4y + 4 = 0 没有公共点，则实数 mm 的取值范围是______.
\begin{answer} (−∞,0)∪(10,+∞)(-\infty,0)\cup(10,+\infty) \end{answer}
\begin{solution} 圆的方程可化为 (x−1)2+(y+2)2=1(x-1)^2+(y+2)^2=1，所以圆心为 (1,−2)(1,-2)，半径为 11. 圆心到直线 3x+4y+m=03x+4y+m=0 的距离为
∣3×1+4×(−2)+m∣32+42=∣m−5∣5\frac{|3\times1+4\times(-2)+m|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|m-5|}{5}
直线与圆没有公共点当且仅当该距离大于半径，即 ∣m−5∣5>1\frac{|m-5|}{5}>1. 因而 ∣m−5∣>5|m-5|>5，解得 m<0m<0 或 m>10m>10，所以取值范围为 (−∞,0)∪(10,+∞)(-\infty,0)\cup(10,+\infty). \end{solution}

2008 · 福建 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15立体几何初步★★★☆☆
若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 3\sqrt{3}，则其外接球的表面积是______.
\begin{answer} 9π9\pi \end{answer}
\begin{solution} 设三棱锥的顶点为 OO，底面顶点为 AA，BB，CC. 由于三个侧面两两垂直，可取 OAOA，OBOB，OCOC 为互相垂直的三条坐标轴，并设 A=(3,0,0)A=(\sqrt3,0,0)，B=(0,3,0)B=(0,\sqrt3,0)，C=(0,0,3)C=(0,0,\sqrt3)，O=(0,0,0)O=(0,0,0).
外接球球心到 OO，AA，BB，CC 的距离相等. 由对称性球心为 Q=(32,32,32)Q=\left(\frac{\sqrt3}{2},\frac{\sqrt3}{2},\frac{\sqrt3}{2}\right)，其半径满足 R=QO=3(32)2=32R=QO=\sqrt{3\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2}=\frac32. 因此外接球的表面积为 4πR2=4π(32)2=9π4\pi R^2=4\pi\left(\frac32\right)^2=9\pi. \end{solution}

2008 · 福建 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16集合与逻辑基础★★★☆☆
设 PP 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意 aa，b∈Pb \in P，都有 a+ba+b，a−ba-b，abab，ab∈P\frac{a}{b} \in P（除数 b≠0b \neq 0），则称 PP 是一个数域. 例如有理数集 Q\mathbf{Q} 是数域. 有下列命题：
① 数域必含有 0,10,1 两个数； ② 整数集是数域； ③ 若有理数集 Q⊆M\mathbf{Q} \subseteq M，则数集 MM 必为数域； ④ 数域必为无限集.
其中正确的命题的序号是______.（把你认为正确的命题的序号都填上）
\begin{answer} \circled1\circled{1}，\circled4\circled{4} \end{answer}
\begin{solution} 判断四个命题如下.
（1）取数域 PP 中两个不同的数 aa，bb. 因为 a−b∈Pa-b\in P 且 a−b≠0a-b\neq0，所以 1=a−ba−b∈P1=\frac{a-b}{a-b}\in P，再由封闭性得 0=1−1∈P0=1-1\in P，命题正确.
（2）整数集不是数域，因为 11，2∈Z2\in\mathbf{Z}，但 12∉Z\frac12\notin\mathbf{Z}，命题错误.
（3）例如取 M=Q∪{2}M=\mathbf{Q}\cup\{\sqrt2\}. 虽然 Q⊆M\mathbf{Q}\subseteq M，但 1+2∉M1+\sqrt2\notin M，所以 MM 不一定是数域，命题错误.
（4）数域含有 11，由加法封闭性含有 11，22，33，…\ldots，这些数两两不同，因此数域必为无限集，命题正确. 所以正确命题的序号为 \circled1\circled{1}，\circled4\circled{4}. \end{solution}

2008 · 福建 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
已知向量 m=(sin⁡A,cos⁡A)\boldsymbol{m} = (\sin A, \cos A)，n=(1,−2)\boldsymbol{n} = (1, -2)，且 m⋅n=0\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n} = 0.
(1) 求 tan⁡A\tan A 的值； (2) 求函数 f(x)=cos⁡2x+4cos⁡Asin⁡xf(x) = \cos 2x + 4\cos A \sin x（x∈Rx \in \mathbf{R}）的值域.

2008 · 福建 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★☆☆☆
三人独立破译同一份密码. 已知三人各自破译出密码的概率分别为 15\frac{1}{5}，14\frac{1}{4}，13\frac{1}{3}，且他们是否破译出密码互不影响.
(1) 求恰有二人破译出密码的概率； (2) “密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由.

2008 · 福建 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，侧面 PAD⊥PAD \perp 底面 ABCDABCD，侧棱 PA=PD=2PA = PD = \sqrt{2}，底面 ABCDABCD 为直角梯形，其中 BC∥ADBC \parallel AD，AB⊥ADAB \perp AD，AD=2AB=2BC=2AD = 2AB = 2BC = 2，OO 为 ADAD 中点.
(1) 求证：PO⊥PO \perp 平面 ABCDABCD； (2) 求异面直线 PBPB 与 CDCD 所成角的余弦值； (3) 求点 AA 到平面 PCDPCD 的距离.

2008 · 福建 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_{n}\} 是正数组成的数列，a1=1a_{1} = 1，且点 (an,an+1)(\sqrt{a_{n}}, a_{n+1})（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）在函数 y=x2+1y = x^{2} + 1 的图象上.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 若数列 {bn}\{b_{n}\} 满足 b1=1b_{1}=1，bn+1=bn+2anb_{n+1}=b_{n}+2^{a_{n}}，求证：bn⋅bn+2<bn+12b_{n}\cdot b_{n+2}<b_{n+1}^{2}.

2008 · 福建 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=x3+mx2+nx−2f(x) = x^3 + mx^2 + nx - 2 的图象过点 (−1,−6)(-1, -6)，且函数 g(x)=f′(x)+6xg(x) = f'(x) + 6x 的图象关于 yy 轴对称.
(1) 求 mm，nn 的值及函数 y=f(x)y = f(x) 的单调区间； (2) 若 a>0a > 0，求函数 y=f(x)y = f(x) 在区间 (a−1,a+1)(a - 1, a + 1) 内的极值.

2008 · 福建 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
如图，椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的一个焦点为 F(1,0)F(1,0)，且过点 (2,0)(2,0).
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 若 ABAB 为垂直于 xx 轴的动弦，直线 l:x=4l: x = 4 与 xx 轴交于点 NN，直线 AFAF 与 BNBN 交于点 MM.
(i) 求证：点 MM 恒在椭圆 CC 上； (ii) 求 △AMN\triangle AMN 面积的最大值.

2008 · 福建 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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