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08立体几何初步★★★☆☆
如图，∠BAD=90∘\angle BAD = 90^{\circ} 的等腰直角三角形 ABDABD 与正三角形 CBDCBD 所在平面互相垂直，EE 是 BCBC 的中点，则 AEAE 与平面 BCDBCD 所成角的大小为______.

2000 · 上海 · 春季 · 第 8 题 · 填空题

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11集合与逻辑基础★★★☆☆
集合 A={(x,y)∣x2+y2=4}A = \{(x, y) | x^2 + y^2 = 4\}，B={(x,y)∣(x−3)2+(y−4)2=r2}B = \{(x, y) | (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = r^2\}，其中 r>0r > 0，若 A∩BA \cap B 中有且仅有一个元素，则 rr 的值是______.

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15集合与逻辑基础★★★☆☆
“a=1a=1”是“函数 y=cos⁡2ax−sin⁡2axy=\cos^{2}ax-\sin^{2}ax 的最小正周期为 π\pi ”的（ ）
A.
充分不必要条件.
B.
必要不充分条件.
C.
充要条件.
D.
既非充分条件也非必要条件.

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17函数与初等函数★★★☆☆
设 f(x)f(x) 为定义在 R\mathbf{R} 上的偶函数，当 x⩽−1x \leqslant -1 时，y=f(x)y = f(x) 的图像是经过点 (−2,0)(-2,0)，斜率为 1 的射线. 又在 y=f(x)y = f(x) 的图像中有一部分是顶点在 (0,2)(0,2)，且过点 (−1,1)(-1,1) 的一段抛物线. 试写出函数 f(x)f(x) 的表达式，并作出其图像.

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18复数★★★☆☆
设复数 zz 满足 ∣z∣=5|z| = 5，且 (3+4i)z(3 + 4\mathrm{i})z 在复平面上对应的点在第二，四象限的角平分线上，∣2z−m∣=52|\sqrt{2}z - m| = 5\sqrt{2}（m∈Rm \in \mathbf{R}），求 zz 和 mm 的值.

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19函数与初等函数★★★☆☆
有一批影碟机（VCD）原销售价为每台 800 元800\text{ 元}，在甲乙两家家电商场均有销售. 甲商场用如下的方法促销：买一台单价为 780 元780\text{ 元}，买两台每台单价都为 760 元760\text{ 元}，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少 20 元20\text{ 元}，但每台最低价不能低于 440 元440\text{ 元}；乙商场一律都按原价的 75%75\% 销售. 某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少？

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20数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_{n}\} 是等差数列，a1=−393a_{1} = -393，a2+a3=−768a_{2} + a_{3} = -768，{bn}\{b_{n}\} 是公比为 qq（0<q<10 < q < 1）的无穷等比数列，b1=2b_{1} = 2，且 {bn}\{b_{n}\} 的各项和为 20.
(1) 写出 {an}\{a_{n}\} 和 {bn}\{b_{n}\} 的通项公式； (2) 试求满足下列不等式的正整数 mm： am+1+am+2+⋯+a2mm+1⩽−160b2\displaystyle \frac{a_{m + 1} + a_{m + 2} + \cdots + a_{2m}}{m + 1} \leqslant -160b_{2}.

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21立体几何初步★★★☆☆
四棱锥 PP—ABCDABCD 中，底面 ABCDABCD 是一个平行四边形，AB→={2,−1,−4}\overrightarrow{AB}=\{2,-1,-4\}，AD→={4,2,0}\overrightarrow{AD}=\{4,2,0\}，AP→={−1,2,−1}\overrightarrow{AP}=\{-1,2,-1\}.
(1) 求证：PA⊥PA \perp 底面 ABCDABCD； (2) 求四棱锥 PP—ABCDABCD 的体积； (3) 对于向量 a={x1,y1,z1}\boldsymbol{a}=\{x_{1},y_{1},z_{1}\}，b={x2,y2,z2}\boldsymbol{b}=\{x_{2},y_{2},z_{2}\}，c={x3,y3,z3}\boldsymbol{c}=\{x_{3},y_{3},z_{3}\}，定义一种运算：(a×b)⋅c=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2−x1y3z2−x2y1z3−x3y2z1\displaystyle (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c} = x_{1} y_{2} z_{3} + x_{2} y_{3} z_{1} + x_{3} y_{1} z_{2} - x_{1} y_{3} z_{2} - x_{2} y_{1} z_{3} - x_{3} y_{2} z_{1}. 试计算 (AB→×AD→)⋅AP→(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD})\cdot\overrightarrow{AP} 的绝对值的值；说明其与四棱锥 PP—ABCDABCD 体积的关系，并由此猜想向量这一运算 (AB→×AD→)⋅AP→(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD})\cdot\overrightarrow{AP} 的绝对值的几何意义.

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