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01三角函数★☆☆☆☆
若 sin⁡(π2+α)=35\sin \left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \frac{3}{5}，则 cos⁡2α=\cos 2\alpha =______.

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02函数与初等函数★☆☆☆☆
若函数 f(x)=−xx+2f(x)=-\frac{x}{x+2}，则 f−1(13)=f^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) =______.

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03指数函数与对数函数★☆☆☆☆
方程 log⁡4(3x−1)=log⁡4(x−1)+log⁡4(3+x)\log_{4}(3x-1)=\log_{4}(x-1)+\log_{4}(3+x) 的解是______.

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04计数原理与组合数学★★☆☆☆
若 (x+a)5(\sqrt{x}+a)^{5} 的展开式中的第四项是 10a210a^{2}（aa 为大于零的常数），则 x=x=______.

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05三角函数★★☆☆☆
在三角形 ABCABC 中，2sin⁡A=3cos⁡A\sqrt{2} \sin A = \sqrt{3\cos A}，则 ∠A=\angle A =______.

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06解析几何★★☆☆☆
若直线 ll 的倾角为 π−arctan⁡12\pi - \arctan\frac{1}{2}，且过点 (1,0)(1,0)，则直线 ll 的方程为______.

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07数列★☆☆☆☆
若数列 {an}\{a_{n}\} 的通项为 1n(n+1)\frac{1}{n(n + 1)}（n∈Nn \in \mathbf{N}），则 lim⁡n→∞(a1+n2an)=\displaystyle\lim_{n \to \infty} (a_{1} + n^{2} a_{n}) =______.

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08立体几何初步★★★☆☆
如图，∠BAD=90∘\angle BAD = 90^{\circ} 的等腰直角三角形 ABDABD 与正三角形 CBDCBD 所在平面互相垂直，EE 是 BCBC 的中点，则 AEAE 与平面 BCDBCD 所成角的大小为______.

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09立体几何初步★★☆☆☆
若两个长方体的长，宽，高分别为 5 cm5\mathrm{~cm}，4 cm4\mathrm{~cm}，3 cm3\mathrm{~cm}，把它们两个全等的面重合在一起组成大长方体，则大长方体的对角线最长为______cm\mathrm{cm}.

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10计数原理与组合数学★★☆☆☆
有 nn（n∈Nn \in \mathbf{N}）件不同的产品排成一排，若其中 AA，BB 两件产品排在一起的不同排法有 48 种，则 n=n =______.

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11集合与逻辑基础★★★☆☆
集合 A={(x,y)∣x2+y2=4}A = \{(x, y) | x^2 + y^2 = 4\}，B={(x,y)∣(x−3)2+(y−4)2=r2}B = \{(x, y) | (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = r^2\}，其中 r>0r > 0，若 A∩BA \cap B 中有且仅有一个元素，则 rr 的值是______.

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12集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 II 是全集，非空集合 PP，QQ 满足 P⊂Q⊂IP \subset Q \subset I. 若含 PP，QQ 的一个集合运算表达式，使运算结果为空集 ∅\varnothing，则这个运算表达式可以是（只要写出一个表达式）______.

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13解析几何★☆☆☆☆
抛物线 y=−x2y = -x^{2} 的焦点坐标为（ ）
A.
(0,14)\left(0, \frac{1}{4}\right).
B.
(0,−14)\left(0, -\frac{1}{4}\right).
C.
(14,0)\left(\frac{1}{4}, 0\right).
D.
(−14,0)\left(-\frac{1}{4},0\right).

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14解析几何★★☆☆☆
x=1−3y2x = \sqrt{1 - 3y^2} 所表示的曲线是（ ）
A.
双曲线.
B.
椭圆.
C.
双曲线的一部分.
D.
椭圆的一部分.

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15集合与逻辑基础★★★☆☆
“a=1a=1”是“函数 y=cos⁡2ax−sin⁡2axy=\cos^{2}ax-\sin^{2}ax 的最小正周期为 π\pi ”的（ ）
A.
充分不必要条件.
B.
必要不充分条件.
C.
充要条件.
D.
既非充分条件也非必要条件.

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16指数函数与对数函数★★☆☆☆
若 0<a<10 < a < 1，b<−1b < -1，则函数 f(x)=ax+bf(x) = a^x + b 的图像不经过（ ）
A.
第一象限.
B.
第二象限.
C.
第三象限.
D.
第四象限.

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17函数与初等函数★★★☆☆
设 f(x)f(x) 为定义在 R\mathbf{R} 上的偶函数，当 x⩽−1x \leqslant -1 时，y=f(x)y = f(x) 的图像是经过点 (−2,0)(-2,0)，斜率为 1 的射线. 又在 y=f(x)y = f(x) 的图像中有一部分是顶点在 (0,2)(0,2)，且过点 (−1,1)(-1,1) 的一段抛物线. 试写出函数 f(x)f(x) 的表达式，并作出其图像.

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18复数★★★☆☆
设复数 zz 满足 ∣z∣=5|z| = 5，且 (3+4i)z(3 + 4\mathrm{i})z 在复平面上对应的点在第二，四象限的角平分线上，∣2z−m∣=52|\sqrt{2}z - m| = 5\sqrt{2}（m∈Rm \in \mathbf{R}），求 zz 和 mm 的值.

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19函数与初等函数★★★☆☆
有一批影碟机（VCD）原销售价为每台 800 元800\text{ 元}，在甲乙两家家电商场均有销售. 甲商场用如下的方法促销：买一台单价为 780 元780\text{ 元}，买两台每台单价都为 760 元760\text{ 元}，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少 20 元20\text{ 元}，但每台最低价不能低于 440 元440\text{ 元}；乙商场一律都按原价的 75%75\% 销售. 某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少？

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20数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_{n}\} 是等差数列，a1=−393a_{1} = -393，a2+a3=−768a_{2} + a_{3} = -768，{bn}\{b_{n}\} 是公比为 qq（0<q<10 < q < 1）的无穷等比数列，b1=2b_{1} = 2，且 {bn}\{b_{n}\} 的各项和为 20.
(1) 写出 {an}\{a_{n}\} 和 {bn}\{b_{n}\} 的通项公式； (2) 试求满足下列不等式的正整数 mm： am+1+am+2+⋯+a2mm+1⩽−160b2\displaystyle \frac{a_{m + 1} + a_{m + 2} + \cdots + a_{2m}}{m + 1} \leqslant -160b_{2}.

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21立体几何初步★★★☆☆
四棱锥 PP—ABCDABCD 中，底面 ABCDABCD 是一个平行四边形，AB→={2,−1,−4}\overrightarrow{AB}=\{2,-1,-4\}，AD→={4,2,0}\overrightarrow{AD}=\{4,2,0\}，AP→={−1,2,−1}\overrightarrow{AP}=\{-1,2,-1\}.
(1) 求证：PA⊥PA \perp 底面 ABCDABCD； (2) 求四棱锥 PP—ABCDABCD 的体积； (3) 对于向量 a={x1,y1,z1}\boldsymbol{a}=\{x_{1},y_{1},z_{1}\}，b={x2,y2,z2}\boldsymbol{b}=\{x_{2},y_{2},z_{2}\}，c={x3,y3,z3}\boldsymbol{c}=\{x_{3},y_{3},z_{3}\}，定义一种运算：(a×b)⋅c=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2−x1y3z2−x2y1z3−x3y2z1\displaystyle (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c} = x_{1} y_{2} z_{3} + x_{2} y_{3} z_{1} + x_{3} y_{1} z_{2} - x_{1} y_{3} z_{2} - x_{2} y_{1} z_{3} - x_{3} y_{2} z_{1}. 试计算 (AB→×AD→)⋅AP→(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD})\cdot\overrightarrow{AP} 的绝对值的值；说明其与四棱锥 PP—ABCDABCD 体积的关系，并由此猜想向量这一运算 (AB→×AD→)⋅AP→(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD})\cdot\overrightarrow{AP} 的绝对值的几何意义.

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22解析几何★★★★☆
如图所示， AA，FF 分别是椭圆 (y+1)216+(x−1)212=1\frac{(y + 1)^2}{16} +\frac{(x - 1)^2}{12} = 1 的一个顶点与一个焦点，位于 xx 轴的正半轴上的动点 T(t,0)T(t,0) 与 FF 的连线交射线 OAOA 于 QQ. 求：
(1) 点 AA，FF 的坐标及直线 TQTQ 的方程； (2) △OTQ\triangle OTQ 的面积 SS 与 tt 的函数关系式 S=f(t)S = f(t) 及该函数的最小值； (3) 写出 S=f(t)S = f(t) 的单调递增区间，并证明之.

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