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04立体几何初步★★★☆☆
若正四棱锥的底面边长为 23 cm2\sqrt{3}\mathrm{~cm}，体积为 4 cm34\mathrm{~cm}^{3}，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是______.

2002 · 上海 · 文 · 第 4 题 · 填空题

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06解析几何★★★☆☆
已知圆 x2+(y−1)2=1x^{2} + (y - 1)^{2} = 1 和圆外一点 P(−2,0)P(-2,0)，过点 PP 作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是______.

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09计数原理与组合数学★★★☆☆
某工程由下列工序组成，则工程总时数为______天\text{天}.

2002 · 上海 · 文 · 第 9 题 · 填空题

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10三角函数★★★☆☆
设函数 f(x)=sin⁡2xf(x)=\sin 2x，若 f(x+t)f(x+t) 是偶函数，则 tt 的一个可能值是______.

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14立体几何初步★★★☆☆
已知直线 ll，mm，平面 α\alpha，β\beta，且 l⊥αl \perp \alpha，m⊂βm \subset \beta，给出下列四个命题.
① 若 α∥β\alpha \parallel \beta，l⊥ml \perp m； ② 若 l⊥ml \perp m，则 α∥β\alpha \parallel \beta； ③ 若 α⊥β\alpha \perp \beta，则 l∥ml \parallel m； ④ 若 l∥ml \parallel m，α⊥β\alpha \perp \beta.
其中正确命题的个数是（ ）
A.
11 个
B.
22 个
C.
33 个
D.
44 个

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15函数与初等函数★★★☆☆
函数 y=x+sin⁡∣x∣y = x + \sin |x|，x∈[−π,π]x \in [-\pi, \pi] 的大致图象是（ ）
A.
B.
C.
D.

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在直三棱柱 ABO−A′B′O′ABO-A'B'O' 中，OO′=4OO' = 4，OA=4OA = 4，OB=3OB = 3，∠AOB=90∘\angle AOB = 90^\circ，DD 是线段 A′B′A'B' 的中点，PP 是侧棱 BB′BB' 上的一点，若 OP⊥BDOP \perp BD，求 OPOP 与底面 AOBAOB 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）

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18解析几何★★★☆☆
已知点 A(−3,0)A(-\sqrt{3},0) 和 B(3,0)B(\sqrt{3},0)，动点 CC 到 AA，BB 两点的距离之差的绝对值为 22，点 CC 的轨迹与直线 y=x−2y = x - 2 交于 DD，EE 两点，求线段 DEDE 的长.

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19函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=x2+2ax+2f(x)=x^2 + 2ax + 2，x∈[−5,5]x \in [-5, 5].
(1) 当 a=−1a=-1 时，求函数 f(x)f(x) 的最大值与最小值； (2) 求实数 aa 的取值范围，使 y=f(x)y = f(x) 在区间 [−5,5][-5, 5] 上是单调函数.

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20函数与初等函数★★★☆☆
某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的 80%80\% 出售，同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：
根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如，购买标价为 400 元400\text{ 元} 的商品，则消费金额为 320 元320\text{ 元}. 获得的优惠额为：400×0.2+30=110 元400 \times 0.2 + 30 = 110\text{ 元}，设购买商品得到的优惠率=购买商品获得的优惠额商品的标价\dfrac{\text{购买商品获得的优惠额}}{\text{商品的标价}}，试问：
(1) 若购买一件标价为 1000 元1000\text{ 元} 的商品，顾客得到的优惠率是多少？ (2) 对于标价在 [500,800] 元[500,800]\text{ 元} 内的商品，顾客购买标价为多少元\text{元}的商品，可得到不小于 13\dfrac{1}{3} 的优惠率？

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21数列★★★☆☆
已知函数 f(x)=a×bxf(x)=a \times b^x 的图象过点 A(4,14)A\left(4, \frac{1}{4}\right) 和 B(5,1)B(5,1).
(1) 求函数 f(x)f(x) 的解析式； (2) 记 an=log⁡2f(n)a_n = \log_2 f(n)，nn 是正整数，SnS_n 是数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，解关于 nn 的不等式 anSn⩽0a_nS_n \leqslant 0； (3) 对于（2）中的 ana_n 与 SnS_n，整数 9696 是否为数列 {anSn}\{a_nS_n\} 中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由.

2002 · 上海 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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