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01复数★☆☆☆☆
若 z∈Cz \in \mathbf{C}，(3+z)i=1(3 + z)\mathrm{i} = 1（i\mathrm{i} 为虚数单位），则 z=z=______.

2002 · 上海 · 文 · 第 1 题 · 填空题

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02平面向量★★☆☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a} 和 b\boldsymbol{b} 的夹角为 120∘120^{\circ}，且 ∣a∣=2|\boldsymbol{a}| = 2，∣b∣=5|\boldsymbol{b}| = 5，则 (2a−b)⋅a=(2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{a}=______.

2002 · 上海 · 文 · 第 2 题 · 填空题

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03指数函数与对数函数★★☆☆☆
方程 log⁡3(1−2×3x)=2x+1\log_{3}(1 - 2 \times 3^{x}) = 2x + 1 的解 x=x=______.

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04立体几何初步★★★☆☆
若正四棱锥的底面边长为 23 cm2\sqrt{3}\mathrm{~cm}，体积为 4 cm34\mathrm{~cm}^{3}，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是______.

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05计数原理与组合数学★★☆☆☆
在二项式 (1+3x)n(1 + 3x)^n 和 (2x+5)n(2x + 5)^n 的展开式中，各项系数之和分别记为 ana_n，bnb_n，nn 是正整数，则 lim⁡n→∞an−2bn3an−4bn=\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{a_n - 2b_n}{3a_n - 4b_n}=______.

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06解析几何★★★☆☆
已知圆 x2+(y−1)2=1x^{2} + (y - 1)^{2} = 1 和圆外一点 P(−2,0)P(-2,0)，过点 PP 作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是______.

2002 · 上海 · 文 · 第 6 题 · 填空题

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07概率与统计★★☆☆☆
在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件，竞赛委员会决定将裁判由原来的 99 名增至 1414 名，但只任取其中 77 名裁判的评分作为有效分，若 1414 名裁判中有 22 人受贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是______.（结果用数值表示）

2002 · 上海 · 文 · 第 7 题 · 填空题

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08解析几何★☆☆☆☆
抛物线 (y−1)2=4(x−1)(y - 1)^2 = 4(x - 1) 的焦点坐标是______.

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09计数原理与组合数学★★★☆☆
某工程由下列工序组成，则工程总时数为______天\text{天}.

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10三角函数★★★☆☆
设函数 f(x)=sin⁡2xf(x)=\sin 2x，若 f(x+t)f(x+t) 是偶函数，则 tt 的一个可能值是______.

2002 · 上海 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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11数列★★☆☆☆
若数列 {an}\{a_n\} 中，a1=3a_1 = 3，且 an+1=an2a_{n+1} = a_{n}^{2}（nn 是正整数），则数列的通项 an=a_n=______.

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12函数与初等函数★★★★☆
已知函数 y=f(x)y = f(x)（定义域为 DD，值域为 AA）有反函数 y=f−1(x)y = f^{-1}(x)，则方程 f(x)=0f(x)=0 有解 x=ax=a，且 f(x)>xf(x)>x（x∈Dx \in D）的充要条件是 y=f−1(x)y = f^{-1}(x) 满足______.

2002 · 上海 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13复数★★☆☆☆
如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（ ）
A.
{z∣∣z∣=1,Re⁡z⩾12,z∈C}\left\{z\mid |z| = 1,\operatorname{Re} z \geqslant \frac{1}{2}, z \in \mathbf{C}\right\}
B.
{z∣∣z∣⩽1,Re⁡z⩾12,z∈C}\left\{z\mid |z| \leqslant 1,\operatorname{Re} z \geqslant \frac{1}{2}, z \in \mathbf{C}\right\}
C.
{z∣∣z∣=1,Im⁡z⩾12,z∈C}\left\{z\mid |z| = 1,\operatorname{Im} z \geqslant \frac{1}{2}, z \in \mathbf{C}\right\}
D.
{z∣∣z∣⩽1,Im⁡z⩾12,z∈C}\left\{z\mid |z| \leqslant 1,\operatorname{Im} z \geqslant \frac{1}{2}, z \in \mathbf{C}\right\}

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14立体几何初步★★★☆☆
已知直线 ll，mm，平面 α\alpha，β\beta，且 l⊥αl \perp \alpha，m⊂βm \subset \beta，给出下列四个命题.
① 若 α∥β\alpha \parallel \beta，l⊥ml \perp m； ② 若 l⊥ml \perp m，则 α∥β\alpha \parallel \beta； ③ 若 α⊥β\alpha \perp \beta，则 l∥ml \parallel m； ④ 若 l∥ml \parallel m，α⊥β\alpha \perp \beta.
其中正确命题的个数是（ ）
A.
11 个
B.
22 个
C.
33 个
D.
44 个

2002 · 上海 · 文 · 第 14 题 · 选择题

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15函数与初等函数★★★☆☆
函数 y=x+sin⁡∣x∣y = x + \sin |x|，x∈[−π,π]x \in [-\pi, \pi] 的大致图象是（ ）
A.
B.
C.
D.

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16函数与初等函数★★☆☆☆
一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（∘C^{\circ}\mathrm{C}）有一定的关系. 图（1）表示某年 1212 个月中每月的平均气温，图（2）表示某家庭在这 1212 个月中每月的用电量，根据这些信息，以下关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中，正确的是（ ）
A.
气温最高时，用电量最多
B.
气温最低时，用电量最少
C.
当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加
D.
当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在直三棱柱 ABO−A′B′O′ABO-A'B'O' 中，OO′=4OO' = 4，OA=4OA = 4，OB=3OB = 3，∠AOB=90∘\angle AOB = 90^\circ，DD 是线段 A′B′A'B' 的中点，PP 是侧棱 BB′BB' 上的一点，若 OP⊥BDOP \perp BD，求 OPOP 与底面 AOBAOB 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）

2002 · 上海 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18解析几何★★★☆☆
已知点 A(−3,0)A(-\sqrt{3},0) 和 B(3,0)B(\sqrt{3},0)，动点 CC 到 AA，BB 两点的距离之差的绝对值为 22，点 CC 的轨迹与直线 y=x−2y = x - 2 交于 DD，EE 两点，求线段 DEDE 的长.

2002 · 上海 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=x2+2ax+2f(x)=x^2 + 2ax + 2，x∈[−5,5]x \in [-5, 5].
(1) 当 a=−1a=-1 时，求函数 f(x)f(x) 的最大值与最小值； (2) 求实数 aa 的取值范围，使 y=f(x)y = f(x) 在区间 [−5,5][-5, 5] 上是单调函数.

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20函数与初等函数★★★☆☆
某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的 80%80\% 出售，同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：
根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如，购买标价为 400 元400\text{ 元} 的商品，则消费金额为 320 元320\text{ 元}. 获得的优惠额为：400×0.2+30=110 元400 \times 0.2 + 30 = 110\text{ 元}，设购买商品得到的优惠率=购买商品获得的优惠额商品的标价\dfrac{\text{购买商品获得的优惠额}}{\text{商品的标价}}，试问：
(1) 若购买一件标价为 1000 元1000\text{ 元} 的商品，顾客得到的优惠率是多少？ (2) 对于标价在 [500,800] 元[500,800]\text{ 元} 内的商品，顾客购买标价为多少元\text{元}的商品，可得到不小于 13\dfrac{1}{3} 的优惠率？

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21数列★★★☆☆
已知函数 f(x)=a×bxf(x)=a \times b^x 的图象过点 A(4,14)A\left(4, \frac{1}{4}\right) 和 B(5,1)B(5,1).
(1) 求函数 f(x)f(x) 的解析式； (2) 记 an=log⁡2f(n)a_n = \log_2 f(n)，nn 是正整数，SnS_n 是数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，解关于 nn 的不等式 anSn⩽0a_nS_n \leqslant 0； (3) 对于（2）中的 ana_n 与 SnS_n，整数 9696 是否为数列 {anSn}\{a_nS_n\} 中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由.

2002 · 上海 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22计数原理与组合数学★★★★☆
规定 Cxm=x(x−1)⋯(x−m+1)m!\mathrm C_{x}^{m} = \dfrac{x(x - 1)\cdots(x - m + 1)}{m!}，其中 x∈Rx \in \mathbf{R}，mm 是正整数，且 Cx0=1\mathrm C_{x}^{0} = 1，这是组合数 Cnm\mathrm C_{n}^{m}（nn，mm 是正整数，且 m⩽nm \leqslant n）的一种推广.
(1) 求 C−153\mathrm C_{-15}^{3} 的值； (2) 设 x>0x > 0，当 xx 为何值时，Cx3(Cx1)2\dfrac{\mathrm C_{x}^{3}}{(\mathrm C_{x}^{1})^{2}} 取得最小值？ (3) 组合数的两个性质：
① Cnm=Cnn−m\mathrm C_{n}^{m} = \mathrm C_{n}^{n - m}； ② Cnm+Cnm−1=Cn+1m\mathrm C_{n}^{m} + \mathrm C_{n}^{m - 1} = \mathrm C_{n + 1}^{m}.
是否都能推广到 Cxm\mathrm C_{x}^{m}（x∈Rx \in \mathbf{R}，mm 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由.

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