如图，设两圆相切于 $C$ 点，$PQ$ 是两圆的外公切线，$A$，$B$ 分别为 $PQ$ 与两圆相切的切点，试证明 $AC\perp BC$.

某生产队要建造一个体积为 $50\text{~立方米}$ 的有盖圆柱形氨水池（如图），问这个氨水池高和底半径取多大时用料最省（即表面积最小）？