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08指数函数与对数函数★★★☆☆
执行如图所示的程序框图，如果输出 s=3s = 3，那么判断框内应填入的条件是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 每次循环先将当前的 kk 代入并更新 ss，再令 kk 增加 11. 若最后一次参与乘积的 kk 为 nn，则
s=∏k=2nlog⁡k(k+1)=∏k=2nln⁡(k+1)ln⁡k=ln⁡(n+1)ln⁡2=log⁡2(n+1)s=\prod_{k=2}^{n}\log_k(k+1) =\prod_{k=2}^{n}\frac{\ln(k+1)}{\ln k} =\frac{\ln(n+1)}{\ln2}=\log_2(n+1)
输出 s=3s=3，所以 log⁡2(n+1)=3\log_2(n+1)=3，n+1=8n+1=8，n=7n=7. 此时最后一次更新后 k=8k=8，判断框应在 k⩽7k\leqslant7 时继续循环，在 k=8k=8 时停止. 因此应填 k⩽7k\leqslant7，故选 B. \end{solution}
A.
k⩽6k \leqslant 6
B.
k⩽7k \leqslant 7
C.
k⩽8k \leqslant 8
D.
k⩽9k \leqslant 9

2013 · 重庆 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09三角函数★★★☆☆
4cos⁡50∘−tan⁡40∘=4\cos 50^{\circ} - \tan 40^{\circ} =（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 利用余弦与正弦的互余关系，
4cos⁡50∘−tan⁡40∘=4sin⁡40∘−sin⁡40∘cos⁡40∘=4sin⁡40∘cos⁡40∘−sin⁡40∘cos⁡40∘.\begin{aligned} 4\cos50^{\circ}-\tan40^{\circ} &=4\sin40^{\circ}-\frac{\sin40^{\circ}}{\cos40^{\circ}}\\ &=\frac{4\sin40^{\circ}\cos40^{\circ}-\sin40^{\circ}}{\cos40^{\circ}}. \end{aligned}
又因为
sin⁡40∘+3cos⁡40∘=2sin⁡100∘=2sin⁡80∘\sin40^{\circ}+\sqrt{3}\cos40^{\circ} =2\sin100^{\circ}=2\sin80^{\circ}
所以
4sin⁡40∘cos⁡40∘−sin⁡40∘=2sin⁡80∘−sin⁡40∘=3cos⁡40∘4\sin40^{\circ}\cos40^{\circ}-\sin40^{\circ} =2\sin80^{\circ}-\sin40^{\circ} =\sqrt{3}\cos40^{\circ}
故原式等于 3\sqrt{3}，选 C. \end{solution}
A.
2\sqrt{2}
B.
2+32\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{2}
C.
3\sqrt{3}
D.
22−12\sqrt{2} - 1

2013 · 重庆 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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13计数原理与组合数学★★★☆☆
从 33 名骨科、44 名脑外科和 55 名内科医生中选派 55 人组成一个抗震救灾医疗小组，骨科、脑外科和内科医生都至少有 11 人的选派方法种数是______.
\begin{answer} 590590 \end{answer}
\begin{solution} 从 1212 名医生中任选五人共有
C125\mathrm C_{12}^{5}
种. 减去没有骨科医生、没有脑外科医生、没有内科医生的情况，再加回同时缺少两个科室的情况，得到
N=C125−C95−C85−C75+C55+C45+C35=792−126−56−21+1+0+0=590.\begin{aligned} N &=\mathrm C_{12}^{5}-\mathrm C_{9}^{5}-\mathrm C_{8}^{5}-\mathrm C_{7}^{5}\\ &\quad+\mathrm C_{5}^{5}+\mathrm C_{4}^{5}+\mathrm C_{3}^{5}\\ &=792-126-56-21+1+0+0=590. \end{aligned}
所以选派方法数为 590590. \end{solution}

2013 · 重庆 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★★☆☆
如图，在 △ABC\triangle ABC 中，∠C=90∘\angle C = 90^{\circ}，∠A=60∘\angle A = 60^{\circ}，AB=20AB = 20，过 CC 作 △ABC\triangle ABC 的外接圆的切线 CDCD，BD⊥CDBD \perp CD，BDBD 与外接圆交于点 EE，则 DEDE 的长为______.
\begin{answer} 55 \end{answer}
\begin{solution} 因为 ∠C=90∘\angle C=90^{\circ}，所以 ABAB 是外接圆的直径. 由 AB=20AB=20 及 ∠A=60∘\angle A=60^{\circ}，得
BC=ABsin⁡60∘=103BC=AB\sin60^{\circ}=10\sqrt3
由切线与弦 CBCB 所成的角等于弦 CBCB 所对的圆周角，得
∠BCD=∠BAC=60∘\angle BCD=\angle BAC=60^{\circ}
在直角三角形 BCDBCD 中，BD⊥CDBD\perp CD，故 CD=BCcos⁡60∘=53CD=BC\cos60^{\circ}=5\sqrt3，BD=BCsin⁡60∘=15BD=BC\sin60^{\circ}=15. 由点 DD 的切割线定理，
DC2=DE⋅DBDC^2=DE\cdot DB
所以
DE=DC2DB=(53)215=5DE=\frac{DC^2}{DB}=\frac{(5\sqrt3)^2}{15}=5
\end{solution}

2013 · 重庆 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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17导数及其应用★★★☆☆
设 f(x)=a(x−5)2+6ln⁡xf(x) = a(x - 5)^2 + 6\ln x，其中 a∈Ra \in \mathbf{R}，曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线与 yy 轴相交于点 (0,6)(0, 6).
(1) 确定 aa 的值； (2) 求函数 f(x)f(x) 的单调区间与极值.
\begin{solution} 函数的定义域为 x>0x>0，且 f(1)=16af(1)=16a，f′(x)=2a(x−5)+6xf'(x)=2a(x-5)+\frac{6}{x}，f′(1)=6−8af'(1)=6-8a. 曲线在 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线方程为 y=f(1)+f′(1)(x−1)y=f(1)+f'(1)(x-1)，所以它在 yy 轴上的截距为 f(1)−f′(1)f(1)-f'(1). 由题意，
16a−(6−8a)=616a-(6-8a)=6
解得 a=12a=\frac{1}{2}. 此时
f′(x)=x−5+6x=(x−2)(x−3)xf'(x)=x-5+\frac{6}{x}=\frac{(x-2)(x-3)}{x}
因为 x>0x>0，所以当 0<x<20<x<2 或 x>3x>3 时 f′(x)>0f'(x)>0，当 2<x<32<x<3 时 f′(x)<0f'(x)<0. 因此，f(x)f(x) 在 (0,2)(0,2) 和 (3,+∞)(3,+\infty) 上单调递增，在 (2,3)(2,3) 上单调递减. 又 f(2)=92+6ln⁡2f(2)=\frac{9}{2}+6\ln 2，f(3)=2+6ln⁡3f(3)=2+6\ln 3. 所以 x=2x=2 时取得极大值 92+6ln⁡2\frac{9}{2}+6\ln 2，x=3x=3 时取得极小值 2+6ln⁡32+6\ln 3. \end{solution}

2013 · 重庆 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有 33 个红球与 44 个白球的袋中任意摸出 33 个球，再从装有 11 个蓝球与 22 个白球的袋中任意摸出 11 个球，根据摸出 44 个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：
其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级.
(1) 求一次摸球恰好摸到 11 个红球的概率； (2) 求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 XX 的分布列与期望 E(X)E(X).
\begin{solution} 设第一次摸出的红球数为 RR，第二次摸出的蓝球数为 BB. 第一次从 77 个球中摸出 33 个球，因此 P(R=r)=C3rC43−rC73P(R=r)=\frac{\mathrm C_{3}^{r}\mathrm C_{4}^{3-r}}{\mathrm C_{7}^{3}}，r=0r=0，11，22，33. 其中 C73=35\mathrm C_{7}^{3}=35.
\begin{enumerate} \item 恰好摸到 11 个红球的概率为
P(R=1)=C31C42C73=3×635=1835P(R=1)=\frac{\mathrm C_{3}^{1}\mathrm C_{4}^{2}}{\mathrm C_{7}^{3}}=\frac{3\times6}{35}=\frac{18}{35}
\item 第二次摸到蓝球的概率为 13\frac{1}{3}，摸到白球的概率为 23\frac{2}{3}，且两次摸球相互独立. 由组合数计算， P(R=0)=435P(R=0)=\frac{4}{35}，P(R=1)=1835P(R=1)=\frac{18}{35}，P(R=2)=1235P(R=2)=\frac{12}{35}，P(R=3)=135P(R=3)=\frac{1}{35}. 三种获奖情形互不相交，所以
P(X=200)=135⋅13=1105P(X=200)=\frac{1}{35}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{105}
P(X=50)=135⋅23=2105P(X=50)=\frac{1}{35}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{105}，P(X=10)=1235⋅13=435P(X=10)=\frac{12}{35}\cdot\frac{1}{3}=\frac{4}{35}. 其余情况均无奖，故
P(X=0)=1−1+2+12105=67P(X=0)=1-\frac{1+2+12}{105}=\frac{6}{7}
因此获奖金额 XX 的分布列为
\begin{center} \begin{tabular}{c|cccc} XX & 00 & 1010 & 5050 & 200200 \ \hline PP & 67\dfrac{6}{7} & 435\dfrac{4}{35} & 2105\dfrac{2}{105} & 1105\dfrac{1}{105} \end{tabular} \end{center}
于是
E(X)=0⋅67+10⋅435+50⋅2105+200⋅1105=4E(X)=0\cdot\frac{6}{7}+10\cdot\frac{4}{35}+50\cdot\frac{2}{105}+200\cdot\frac{1}{105}=4
\end{enumerate} \end{solution}

2013 · 重庆 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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