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08立体几何初步★★★☆☆
已知球的两个平行截面的面积分别为 5π5\pi 和 8π8\pi，它们位于球心的同一侧，且相距为 11，那么这个球的半径是（\quad）
A.
44
B.
33
C.
22
D.
55

1989 · 全国 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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11三角函数★★★☆☆
如果 ∣x∣⩽π4|x| \leqslant \frac{\pi}{4}，那么函数 f(x)=cos⁡2x+sin⁡xf(x) = \cos^2 x + \sin x 的最小值是（\quad）
A.
2−12\frac{\sqrt{2} - 1}{2}
B.
1+22\frac{1 + \sqrt{2}}{2}
C.
−1-1
D.
1−22\frac{1 - \sqrt{2}}{2}

1989 · 全国 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★☆☆
已知 f(x)=8+2x−x2f(x) = 8 + 2x - x^2，如果 g(x)=f(2−x2)g(x) = f(2 - x^2)，那么 g(x)g(x)（\quad）
A.
在区间 (−1,0)(-1,0) 上是减函数
B.
在区间 (0,1)(0,1) 上是减函数
C.
在区间 (−2,0)(-2,0) 上是增函数
D.
在区间 (0,2)(0,2) 上是增函数

1989 · 全国 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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17指数函数与对数函数★★★☆☆
已知 0<a<10 < a < 1，0<b<10 < b < 1，alog⁡b(x−3)<1a^{\log_b(x - 3)} < 1，那么 xx 的取值范围是______.

1989 · 全国 · 文 · 第 17 题 · 填空题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，PP 是二面角 α−AB−β\alpha - AB - \beta 棱 ABAB 上的一点，分别在 α\alpha，β\beta 上引射线 PMPM，PNPN，如果 ∠BPM=∠BPN=45∘\angle BPM = \angle BPN = 45^\circ，∠MPN=60∘\angle MPN = 60^\circ，那么二面角 α−AB−β\alpha - AB - \beta 的大小是______.

1989 · 全国 · 文 · 第 18 题 · 填空题

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20三角函数★★★☆☆
证明：tan⁡3x2−tan⁡x2=2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x\tan \frac{3x}{2} - \tan \frac{x}{2} = \frac{2\sin x}{\cos x + \cos 2x}.

1989 · 全国 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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22计数原理与组合数学★★★☆☆
用数学归纳法证明：(1⋅22−2⋅32)+(3⋅42−4⋅52)+⋯+[(2n−1)(2n)2−2n(2n+1)2]=−n(n+1)(4n+3)(1 \cdot 2^2 - 2 \cdot 3^2) + (3 \cdot 4^2 - 4 \cdot 5^2) + \cdots + [(2n - 1)(2n)^2 - 2n(2n + 1)^2] = -n(n + 1)(4n + 3).

1989 · 全国 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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