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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
如果 I={a,b,c,d,e}I = \{a, b, c, d, e\}，M={a,c,d}M = \{a, c, d\}，N={b,d,e}N = \{b, d, e\}，其中 II 是全集，那么 M‾∩N‾\overline{M} \cap \overline{N} 等于（\quad）
A.
∅\varnothing
B.
{d}\{d\}
C.
{a,c}\{a, c\}
D.
{b,e}\{b, e\}

1989 · 全国 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02函数与初等函数★★☆☆☆
与函数 y=xy = x 有相同图象的一个函数是（\quad）
A.
y=x2y = \sqrt{x^2}
B.
y=x2xy = \frac{x^2}{x}
C.
y=alog⁡axy = a^{\log_a x}，其中 a>0a > 0，a≠1a \neq 1
D.
y=log⁡aaxy = \log_a a^x，其中 a>0a > 0，a≠1a \neq 1

1989 · 全国 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03立体几何初步★☆☆☆☆
如果圆锥的底面半径为 2\sqrt{2}，高为 22，那么它的侧面积是（\quad）
A.
43π4\sqrt{3}\pi
B.
22π2\sqrt{2}\pi
C.
23π2\sqrt{3}\pi
D.
42π4\sqrt{2}\pi

1989 · 全国 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04数列★★☆☆☆
已知 {an}\{a_n\} 是等比数列，如果 a1+a2=12a_1 + a_2 = 12，a2+a3=−6a_2 + a_3 = -6，且 Sn=a1+a2+⋯+anS_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n，那么 lim⁡n→∞Sn\displaystyle\lim_{n \to \infty} S_n 的值等于（\quad）
A.
88
B.
1616
C.
3232
D.
4848

1989 · 全国 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05计数原理与组合数学★★☆☆☆
如果 (1−2x)7=a0+a1x+a2x2+⋯+a7x7(1 - 2x)^7 = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_7x^7，那么 a1+a2+⋯+a7a_1 + a_2 + \cdots + a_7 的值等于（\quad）
A.
−2-2
B.
−1-1
C.
00
D.
22

1989 · 全国 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06三角函数★★☆☆☆
如果 ∣cos⁡θ∣=15\left|\cos \theta\right| = \frac{1}{5}，5π2<θ<3π\frac{5\pi}{2} < \theta < 3\pi，那么 sin⁡θ2\sin \frac{\theta}{2} 的值等于（\quad）
A.
−105-\frac{\sqrt{10}}{5}
B.
105\frac{\sqrt{10}}{5}
C.
−155-\frac{\sqrt{15}}{5}
D.
155\frac{\sqrt{15}}{5}

1989 · 全国 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07解析几何★★☆☆☆
直线 2x+3y−6=02x + 3y - 6 = 0 关于点 (1,−1)(1,-1) 对称的直线是（\quad）
A.
3x−2y+2=03x - 2y + 2 = 0
B.
2x+3y+7=02x + 3y + 7 = 0
C.
3x−2y−12=03x - 2y - 12 = 0
D.
2x+3y+8=02x + 3y + 8 = 0

1989 · 全国 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08立体几何初步★★★☆☆
已知球的两个平行截面的面积分别为 5π5\pi 和 8π8\pi，它们位于球心的同一侧，且相距为 11，那么这个球的半径是（\quad）
A.
44
B.
33
C.
22
D.
55

1989 · 全国 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09计数原理与组合数学★☆☆☆☆
由数字 11，22，33，44，55 组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有（\quad）
A.
60 个60\text{ 个}
B.
48 个48\text{ 个}
C.
36 个36\text{ 个}
D.
24 个24\text{ 个}

1989 · 全国 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10解析几何★★☆☆☆
如果双曲线 x264−y236=1\frac{x^2}{64} - \frac{y^2}{36} = 1 上一点 PP 到它的右焦点的距离是 88，那么点 PP 到它的右准线的距离是（\quad）
A.
1010
B.
3277\frac{32\sqrt{7}}{7}
C.
272\sqrt{7}
D.
325\frac{32}{5}

1989 · 全国 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11三角函数★★★☆☆
如果 ∣x∣⩽π4|x| \leqslant \frac{\pi}{4}，那么函数 f(x)=cos⁡2x+sin⁡xf(x) = \cos^2 x + \sin x 的最小值是（\quad）
A.
2−12\frac{\sqrt{2} - 1}{2}
B.
1+22\frac{1 + \sqrt{2}}{2}
C.
−1-1
D.
1−22\frac{1 - \sqrt{2}}{2}

1989 · 全国 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★☆☆
已知 f(x)=8+2x−x2f(x) = 8 + 2x - x^2，如果 g(x)=f(2−x2)g(x) = f(2 - x^2)，那么 g(x)g(x)（\quad）
A.
在区间 (−1,0)(-1,0) 上是减函数
B.
在区间 (0,1)(0,1) 上是减函数
C.
在区间 (−2,0)(-2,0) 上是增函数
D.
在区间 (0,2)(0,2) 上是增函数

1989 · 全国 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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13解析几何★☆☆☆☆
给定三点 A(1,0)A(1,0)，B(−1,0)B(-1,0)，C(1,2)C(1,2)，那么通过点 AA 并且与直线 BCBC 垂直的直线方程是______.

1989 · 全国 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14不等式★★☆☆☆
不等式 ∣x2−3x∣>4|x^2 - 3x| > 4 的解集是______.

1989 · 全国 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★☆☆☆
函数 y=ex−1ex+1y = \frac{\mathrm{e}^x - 1}{\mathrm{e}^x + 1} 的反函数的定义域是______.

1989 · 全国 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16集合与逻辑基础★★☆☆☆
已知 AA 和 BB 是两个命题，如果 AA 是 BB 的充分条件，那么 BB 是 AA 的______条件；A‾\overline{A} 是 B‾\overline{B} 的______条件.

1989 · 全国 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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17指数函数与对数函数★★★☆☆
已知 0<a<10 < a < 1，0<b<10 < b < 1，alog⁡b(x−3)<1a^{\log_b(x - 3)} < 1，那么 xx 的取值范围是______.

1989 · 全国 · 文 · 第 17 题 · 填空题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，PP 是二面角 α−AB−β\alpha - AB - \beta 棱 ABAB 上的一点，分别在 α\alpha，β\beta 上引射线 PMPM，PNPN，如果 ∠BPM=∠BPN=45∘\angle BPM = \angle BPN = 45^\circ，∠MPN=60∘\angle MPN = 60^\circ，那么二面角 α−AB−β\alpha - AB - \beta 的大小是______.

1989 · 全国 · 文 · 第 18 题 · 填空题

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19复数★★☆☆☆
设复数 z=(1−3i)5z = \left(1 - \sqrt{3}\mathrm{i}\right)^5，求 zz 的模和辐角的主值.

1989 · 全国 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20三角函数★★★☆☆
证明：tan⁡3x2−tan⁡x2=2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x\tan \frac{3x}{2} - \tan \frac{x}{2} = \frac{2\sin x}{\cos x + \cos 2x}.

1989 · 全国 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21立体几何初步★★★★☆
如图，在平行六面体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_1B_1C_1D_1 中，已知 AB=5AB = 5，AD=4AD = 4，AA1=3AA_1 = 3，AB⊥ADAB \perp AD，∠A1AB=∠A1AD=π3\angle A_1AB = \angle A_1AD = \frac{\pi}{3}.
(1) 求证：顶点 A1A_1 在底面 ABCDABCD 的射影 OO 在 ∠BAD\angle BAD 的平分线上； (2) 求这个平行六面体的体积.

1989 · 全国 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22计数原理与组合数学★★★☆☆
用数学归纳法证明：(1⋅22−2⋅32)+(3⋅42−4⋅52)+⋯+[(2n−1)(2n)2−2n(2n+1)2]=−n(n+1)(4n+3)(1 \cdot 2^2 - 2 \cdot 3^2) + (3 \cdot 4^2 - 4 \cdot 5^2) + \cdots + [(2n - 1)(2n)^2 - 2n(2n + 1)^2] = -n(n + 1)(4n + 3).

1989 · 全国 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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23指数函数与对数函数★★★★☆
已知 a>0a > 0，a≠1a \neq 1，试求使方程 log⁡a(x−ak)=log⁡a2(x2−a2)\log_a(x - ak) = \log_{a^2}(x^2 - a^2) 有解的 kk 的取值范围.

1989 · 全国 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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24解析几何★★★★☆
给定椭圆方程 x2b2+y2a2=1\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1（a>b>0a > b > 0），求与这个椭圆有公共焦点的双曲线，使得以它们的交点为顶点的四边形面积最大，并求相应的四边形的顶点坐标.

1989 · 全国 · 文 · 第 24 题 · 解答题

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