若 $a > b > 0$，$c < d < 0$，则一定有（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 令 $c=-u$，$d=-v$，则 $u>v>0$. 比较后两个选项，因 $cd>0$，有 而 $a>b>0$，$u>v>0$，所以 $au>bv$，从而 $\frac{a}{d}<\frac{b}{c}$ 恒成立，故选 D. \end{solution}

如图，从气球 $A$ 上测得正前方的河流的两岸 $B$，$C$ 的俯角分别为 $75^{\circ}$，$30^{\circ}$，此时气球的高是 $60 \mathrm{~m}$，则河流的宽度 $BC$ 等于（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 设 $A$ 在地面上的垂足为 $D$，则 $AD=60\mathrm{~m}$. 由俯角等于相应的仰角，在直角三角形 $ADB$，$ADC$ 中分别有 $DB=60\tan15^{\circ}$，$DC=60\tan60^{\circ}$. 又 $\tan15^{\circ}=\tan(45^{\circ}-30^{\circ})=2-\sqrt3$，故 因此河流宽度对应选项 C. \end{solution}

已知 $F$ 是抛物线 $y^{2} = x$ 的焦点，点 $A$，$B$ 在该抛物线上且位于 $x$ 轴的两侧， $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 2$（其中 $O$ 为坐标原点），则 $\triangle ABO$ 与 $\triangle AFO$ 面积之和的最小值是（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 设 $A=(u^2,u)$，$B=(v^2,v)$，其中 $u>0>v$. 由 $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=2$，得 令 $t=uv<0$，则 $t^2+t-2=0$，所以 $t=-2$，即 $uv=-2$. 抛物线 $y^2=x$ 的焦点为 $F\left(\frac14,0\right)$. 因此 $S_{\triangle ABO}=\frac12|u^2v-v^2u|=u-v$，$S_{\triangle AFO}=\frac12\cdot\frac14\cdot u=\frac{u}{8}$. 又由 $v=-\frac2u$，有 等号条件为 $u=\frac43$，此时 $v=-\frac32$，满足 $u>0>v$，所以等号确实可以取得. 故最小值为 $3$，选 B. \end{solution}

平面向量 $\boldsymbol{a} = (1, 2)$，$\boldsymbol{b} = (4, 2)$，$\boldsymbol{c} = m\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$（$m \in \mathbf{R}$），且 $\boldsymbol{c}$ 与 $\boldsymbol{a}$ 的夹角等于 $\boldsymbol{c}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角，则 $m =$______. \begin{answer} 2 \end{answer}

\begin{solution} 由 $\boldsymbol{c}=m\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$，得 $\boldsymbol{c}=(m+4,2m+2)$. 因为 $|\boldsymbol{a}|=\sqrt5$，$|\boldsymbol{b}|=2\sqrt5$，且两夹角相等，所以 即 $2(\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a})=\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{b}$. 计算得 $\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a}=5m+8$，$qquad \boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{b}=8m+20$. 故 $2(5m+8)=8m+20$，解得 $m=2$. \end{solution}

已知函数 $f(x) = \sin \left(3x + \frac{\pi}{4}\right)$.

(1) 求 $f(x)$ 的单调递增区间； (2) 若 $\alpha$ 是第二象限角，$f\left(\frac{\alpha}{3}\right) = \frac{4}{5}\cos \left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)\cos 2\alpha$，求 $\cos \alpha - \sin \alpha$ 的值.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item $y=\sin t$ 在区间 $\left[-\frac\pi2+2k\pi,\frac\pi2+2k\pi\right]$ 上单调递增. 令 $t=3x+\frac\pi4$，则 $-\frac\pi2+2k\pi\leqslant3x+\frac\pi4\leqslant\frac\pi2+2k\pi$，$k\in\mathbf{Z}$. 解得 $\left[\frac{2k\pi}{3}-\frac\pi4,\frac{2k\pi}{3}+\frac\pi{12}\right]$，$k\in\mathbf{Z}$，这就是 $f(x)$ 的单调递增区间. \item 因为 $f\left(\frac\alpha3\right)=\sin\left(\alpha+\frac\pi4\right)$，设 $u=\sin\alpha+\cos\alpha$，$v=\cos\alpha-\sin\alpha$. 已知等式化为 又 $\cos2\alpha=(\cos\alpha-\sin\alpha)(\cos\alpha+\sin\alpha)=uv$，所以 $u=\frac45uv^2$. 若 $u=0$，则 $v=-\sqrt2$. 若 $u\neq0$，则 $v^2=\frac54$. 由于 $\alpha$ 是第二象限角，$\cos\alpha-\sin\alpha<0$，故 $v=-\frac{\sqrt5}{2}$. 因此 $\cos\alpha-\sin\alpha=-\sqrt2$ 或 $-\frac{\sqrt5}{2}$. \end{enumerate} \end{solution}

在如图所示的多面体中，四边形 $ABB_{1}A_{1}$ 和 $ACC_{1}A_{1}$ 都为矩形.

(1) 若 $AC \perp BC$，证明：直线 $BC \perp$ 平面 $ACC_{1}A_{1}$； (2) 设 $D$，$E$ 分别是线段 $BC$，$CC_{1}$ 的中点，在线段 $AB$ 上是否存在一点 $M$，使直线 $DE \parallel$ 平面 $A_{1}MC$？请证明你的结论.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设 $\boldsymbol{u}=\overrightarrow{AA_{1}}$，$\boldsymbol{v}=\overrightarrow{AB}$，$\boldsymbol{w}=\overrightarrow{AC}$. 由两个四边形为矩形，得 $\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}=0$，$\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{w}=0$. 又 $\overrightarrow{BC}=\boldsymbol{w}-\boldsymbol{v}$，所以 $\overrightarrow{BC}\cdot\boldsymbol{u}=0$，即 $BC\perp AA_{1}$. 已知 $AC\perp BC$，而 $AC$ 与 $AA_{1}$ 是平面 $ACC_{1}A_{1}$ 内相交的两条直线，因此 $BC\perp$ 平面 $ACC_{1}A_{1}$. \item 取 $M$ 为 $AB$ 的中点. 用上面的向量记号，有 $\overrightarrow{DE}=\frac12\left(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{w}-\boldsymbol{v}\right)$，$\overrightarrow{A_{1}M}=\frac12\boldsymbol{v}-\boldsymbol{u}$，$\overrightarrow{A_{1}C}=\boldsymbol{w}-\boldsymbol{u}$. 从而 右端是平面 $A_{1}MC$ 内两条相交直线方向向量的线性组合，所以直线 $DE$ 的方向平行于平面 $A_{1}MC$. 又因 $ABC$ 是三角形，且 $\boldsymbol{u}$ 同时垂直于 $\boldsymbol{v}$，$\boldsymbol{w}$，故 $\boldsymbol{u}$，$\boldsymbol{v}$，$\boldsymbol{w}$ 线性无关. 若 $D$ 在平面 $A_{1}MC$ 内，则存在实数 $\lambda$，$\mu$，使 比较 $\boldsymbol{v}$，$\boldsymbol{w}$，$\boldsymbol{u}$ 的系数，分别得到 $\lambda=1$，$\mu=\frac12$，$\lambda+\mu=1$，矛盾. 因此 $D$ 不在平面 $A_{1}MC$ 内，故 $DE\parallel$ 平面 $A_{1}MC$. 因此存在这样的点 $M$，且它是线段 $AB$ 的中点. \end{enumerate} \end{solution}

设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $d$，点 $(a_{n}, b_{n})$ 在函数 $f(x) = 2^{x}$ 的图象上（$n \in \mathbf{N}^{*}$）.

(1) 证明：数列 $\{b_{n}\}$ 为等比数列； (2) 若 $a_{1} = 1$，函数 $f(x)$ 的图象在点 $(a_{2}, b_{2})$ 处的切线在 $x$ 轴上的截距为 $2 - \frac{1}{\ln 2}$，求数列 $\{a_{n} b_{n}^{2}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 因为点 $(a_n,b_n)$ 在 $y=2^x$ 的图象上，所以 $b_n=2^{a_n}$. 又 $a_{n+1}=a_n+d$，故 这个比值与 $n$ 无关，所以 $\{b_n\}$ 是以 $2^d$ 为公比的等比数列. \item 函数 $f(x)=2^x$ 的导数为 $f'(x)=2^x\ln2$. 在点 $(a_2,b_2)$ 处的切线方程为 令 $y=0$，得该切线在 $x$ 轴上的截距为 $a_2-\frac1{\ln2}$. 由题设及 $a_1=1$，得 $a_2=2$，从而 $d=1$，$a_n=n$，$b_n=2^n$. 因此 设上式为 $S_n$，则 $4S_n=\sum_{k=2}^{n+1}(k-1)4^k$，相减得 所以 $S_n=\frac{(3n-1)4^{n+1}+4}{9}$. \end{enumerate} \end{solution}