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06数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_n\} 为等比数列，下面结论中正确的是（ ）
A.
a1+a3⩾2a2a_{1} + a_{3} \geqslant 2a_{2}
B.
a12+a32⩾2a22a_{1}^{2} + a_{3}^{2} \geqslant 2a_{2}^{2}
C.
若 a1=a3，则 a1=a2\text{若 }a_{1}=a_{3}\text{，则 }a_{1}=a_{2}
D.
若 a3>a1，则 a4>a2\text{若 }a_{3}>a_{1}\text{，则 }a_{4}>a_{2}

2012 · 北京 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★☆☆
某果树前 nn 年的总产量 SnS_n 与 nn 之间的关系如图所示. 从目前记录的结果看，前 mm 年的年平均产量最高，mm 的值为（ ）
A.
5
B.
7
C.
9
D.
11

2012 · 北京 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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14不等式★★★☆☆
已知 f(x)=m(x−2m)(x+m+3)f(x) = m(x - 2m)(x + m + 3)，g(x)=2x−2g(x) = 2^{x} - 2. 若 ∀x∈R\forall x \in \mathbf{R}，f(x)<0f(x) < 0 或 g(x)<0g(x) < 0，则 mm 的取值范围是______.

2012 · 北京 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=(sin⁡x−cos⁡x)sin⁡2xsin⁡xf(x) = \dfrac{(\sin x - \cos x)\sin 2x}{\sin x}.
(1) 求 f(x)f(x) 的定义域及最小正周期； (2) 求 f(x)f(x) 的单调递减区间.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由分母不能为零，得 sin⁡x≠0\sin x\ne0，所以定义域为 {x∣x≠kπ, k∈Z}\{x\mid x\ne k\pi,\ k\in\mathbf{Z}\}. 在此定义域内，利用 sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin2x=2\sin x\cos x，得
f(x)=2cos⁡x(sin⁡x−cos⁡x)=sin⁡2x−cos⁡2x−1=2sin⁡(2x−π4)−1f(x)=2\cos x(\sin x-\cos x)=\sin2x-\cos2x-1 =\sqrt{2}\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)-1
化简式的周期为 π\pi，所以 π\pi 是原函数的一个正周期. 另一方面，原函数的定义域排除了恰为 {kπ∣k∈Z}\{k\pi\mid k\in\mathbf{Z}\} 的点；若 TT 是原函数的周期，则平移 TT 必须把这组不可取点保持不变，从而 TT 必须是 π\pi 的整数倍. 因此原函数的最小正周期为 π\pi.
\item 由上式可得 f′(x)=22cos⁡(2x−π4)f'(x)=2\sqrt{2}\cos\left(2x-\frac{\pi}{4}\right). 函数递减时
cos⁡(2x−π4)<0\cos\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)<0
即存在 k∈Zk\in\mathbf{Z}，使
2kπ+π2<2x−π4<2kπ+3π22k\pi+\frac{\pi}{2}<2x-\frac{\pi}{4}<2k\pi+\frac{3\pi}{2}
解得 kπ+3π8<x<kπ+7π8k\pi+\frac{3\pi}{8}<x<k\pi+\frac{7\pi}{8}. 端点处导数为零，但函数在端点及其间的每一点均有定义，故可将递减区间写成相应闭区间；这些区间也不包含被排除的 kπk\pi. 所以单调递减区间为 [kπ+3π8,kπ+7π8]\left[k\pi+\frac{3\pi}{8},k\pi+\frac{7\pi}{8}\right]（k∈Zk\in\mathbf{Z}）. \end{enumerate} \end{solution}

2012 · 北京 · 文 · 第 15 题 · 解答题

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16立体几何初步★★★☆☆
如图 1，在 Rt△ABC\mathrm{Rt}\triangle ABC 中，∠C=90∘\angle C = 90^\circ，DD，EE 分别是 ACAC，ABAB 的中点，点 FF 为线段 CDCD 上的一点，将 △ADE\triangle ADE 沿 DEDE 折起到 △A1DE\triangle A_1DE 的位置，使 A1F⊥CDA_1F \perp CD，如图 2.
(1) 求证：DE∥平面 A1CBDE\parallel\text{平面 }A_1CB； (2) 求证：A1F⊥BEA_1F\perp BE； (3) 线段 A1BA_1B 上是否存在点 QQ，使 A1C⊥平面 DEQA_1C\perp\text{平面 }DEQ？说明理由.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 因为 DD，EE 分别是 ACAC，ABAB 的中点，所以在折叠前 DE∥BCDE\parallel BC，折叠后 DEDE 和 BCBC 的位置均不变，仍有 DE∥BCDE\parallel BC. 又 BC⊂平面 A1CBBC\subset\text{平面 }A_1CB. 只需证明 DEDE 不在该平面内.
若 DE⊂平面 A1CBDE\subset\text{平面 }A_1CB，则平面 A1CBA_1CB 与折叠前的平面 ABCABC 都含有两条互相平行且不重合的直线 DEDE 和 BCBC，从而两平面重合，故 A1∈平面 ABCA_1\in\text{平面 }ABC. 由于 DE⊥ACDE\perp AC，且 DD 是 ACAC 的中点，点 AA 绕折痕 DEDE 后仍落在平面 ABCABC 内时只能处于原位置 AA 或关于 DEDE 的对称位置 CC. 这两种情形下 A1FA_1F 均与 CDCD 共线或退化，不可能满足 A1F⊥CDA_1F\perp CD. 因此 DE⊄平面 A1CBDE\not\subset\text{平面 }A_1CB，所以 DE∥平面 A1CBDE\parallel\text{平面 }A_1CB.
\item 由 AC⊥BCAC\perp BC 且 DE∥BCDE\parallel BC，得 DE⊥ACDE\perp AC，从而 DE⊥CDDE\perp CD. 折叠保持折痕 DEDE 与边 ADAD 的夹角，所以 DE⊥A1DDE\perp A_1D. 直线 A1DA_1D 与 DCDC 在 DD 处相交，且都在平面 A1DCA_1DC 内，故 DE⊥平面 A1DCDE\perp\text{平面 }A_1DC. 因为 F∈CDF\in CD，所以 A1F⊂平面 A1DCA_1F\subset\text{平面 }A_1DC，从而 DE⊥A1FDE\perp A_1F.
已知 A1F⊥CDA_1F\perp CD. 过 FF 作直线 ℓ∥DE\ell\parallel DE. 直线 ℓ\ell 和 CDCD 是平面 BCDEBCDE 内过 FF 的两条相交直线，且 A1F⊥ℓA_1F\perp\ell、A1F⊥CDA_1F\perp CD，所以 A1F⊥平面 BCDEA_1F\perp\text{平面 }BCDE. 由于 BE⊂平面 BCDEBE\subset\text{平面 }BCDE，故 A1F⊥BEA_1F\perp BE.
\item 取 PP，QQ 分别为 A1CA_1C，A1BA_1B 的中点. 在三角形 A1CBA_1CB 中，PQ∥CBPQ\parallel CB，而 DE∥CBDE\parallel CB，所以 PQ∥DEPQ\parallel DE. 平面 DEQDEQ 含有过 QQ 且平行于 DEDE 的直线 PQPQ，故 P∈平面 DEQP\in\text{平面 }DEQ，从而平面 DEQ=平面 DEPDEQ=\text{平面 }DEP.
折叠保持长度，且 DD 是 ACAC 的中点，所以 A1D=AD=DCA_1D=AD=DC. 因而三角形 A1DCA_1DC 是以 A1CA_1C 为底边的等腰三角形；PP 是底边 A1CA_1C 的中点，所以 DP⊥A1CDP\perp A_1C. 由上一步知 DE⊥平面 A1DCDE\perp\text{平面 }A_1DC，故 DE⊥A1CDE\perp A_1C. 又 PQ∥DEPQ\parallel DE，所以 PQ⊥A1CPQ\perp A_1C. 直线 DPDP 与 PQPQ 在 PP 处相交，且均在平面 DEPDEP 内，因此 A1C⊥平面 DEP=平面 DEQA_1C\perp\text{平面 }DEP=\text{平面 }DEQ. 所以存在这样的点 QQ，可取 QQ 为 A1BA_1B 的中点. \end{enumerate} \end{solution}

2012 · 北京 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾，可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱. 为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1000 吨1000\text{ 吨} 生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：
“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱
可回收物3024030
其他垃圾202060
(1) 试估计厨余垃圾投放正确的概率； (2) 试估计生活垃圾投放错误的概率； (3) 假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱，“可回收物”箱，“其他垃圾”箱的投放量分别为 aa，bb，cc，其中 a>0a > 0，a+b+c=600a + b + c = 600. 当数据 aa，bb，cc 的方差 s2s^2 最大时，写出 aa，bb，cc 的值（结论不要求证明），并求此时 s2s^2 的值.
（注：s2=1n[(x1−x‾)2+(x2−x‾)2+⋯+(xn−x‾)2]s^2 = \frac{1}{n}\left[(x_1 - \overline{x})^2 + (x_2 - \overline{x})^2 + \cdots + (x_n - \overline{x})^2\right]，其中 x‾\overline{x} 为 x1x_1，x2x_2，⋯\cdots，xnx_n 的平均数）
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 三类厨余垃圾共 400+100+100=600400+100+100=600 吨，其中正确投放到“厨余垃圾”箱的有 400400 吨，所以估计正确投放的概率为 400600=23\dfrac{400}{600}=\dfrac{2}{3}.
\item 投放错误的垃圾量是所有非对角线数据之和，即 100+100+30+30+20+20=300100+100+30+30+20+20=300 吨. 因而估计生活垃圾投放错误的概率为 3001000=310\dfrac{300}{1000}=\dfrac{3}{10}.
\item 由于 aa，bb，cc 是投放量，bb，c⩾0c\geqslant0. 它们的平均数为 xˉ=a+b+c3=200\bar{x}=\dfrac{a+b+c}{3}=200，所以
s2=13[(a−200)2+(b−200)2+(c−200)2]=a2+b2+c2−1200003s^2=\frac{1}{3}\left[(a-200)^2+(b-200)^2+(c-200)^2\right] =\frac{a^2+b^2+c^2-120000}{3}
在 aa，bb，c⩾0c\geqslant0 且 a+b+c=600a+b+c=600 时， a2+b2+c2⩽(a+b+c)2=360000a^2+b^2+c^2\leqslant(a+b+c)^2=360000，等号当且仅当其中两个数为零. 结合 a>0a>0，方差最大时 a=600a=600，b=c=0b=c=0，并且 s2=360000−1200003=80000s^2=\dfrac{360000-120000}{3}=80000. \end{enumerate} \end{solution}

2012 · 北京 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=ax2+1f(x) = ax^2 + 1 （a>0a > 0），g(x)=x3+bxg(x) = x^3 + bx.
(1) 若曲线 y=f(x)y = f(x) 与曲线 y=g(x)y = g(x) 在它们的交点 (1,c)(1, c) 处具有公共切线，求 aa，bb 的值； (2) 当 a=3a = 3，b=−9b = -9 时，若函数 f(x)+g(x)f(x) + g(x) 在区间 [k,2][k, 2] 上的最大值为 28，求 kk 的取值范围.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 因为 (1,c)(1,c) 同时在两条曲线上，所以 a+1=c=1+ba+1=c=1+b，从而 a=ba=b. 两条曲线在该点具有公共切线，说明导数值相等，即 f′(1)=2af'(1)=2a，g′(1)=3+bg'(1)=3+b，所以 2a=3+b2a=3+b. 联立 a=ba=b 得 a=b=3a=b=3.
\item 令 h(x)=f(x)+g(x)=x3+3x2−9x+1h(x)=f(x)+g(x)=x^3+3x^2-9x+1，则 h′(x)=3x2+6x−9=3(x+3)(x−1)h'(x)=3x^2+6x-9=3(x+3)(x-1). 因此 hh 在 (−∞,−3)(-\infty,-3) 上递增，在 (−3,1)(-3,1) 上递减，在 (1,+∞)(1,+\infty) 上递增. 又 h(−3)=28h(-3)=28，h(1)=−4h(1)=-4，h(2)=3h(2)=3. 区间 [k,2][k,2] 要有意义，需 k⩽2k\leqslant2. 当 k⩽−3k\leqslant-3 时，区间 [k,2][k,2] 包含 x=−3x=-3，且由上述单调性，h(x)h(x) 在该区间上的最大值为 h(−3)=28h(-3)=28. 当 −3<k⩽2-3<k\leqslant2 时，区间不含 −3-3，在 [k,1][k,1] 上函数递减、在 [1,2][1,2] 上函数递增，且 h(k)<28h(k)<28、h(2)=3<28h(2)=3<28，故最大值严格小于 2828. 所以 k∈(−∞,−3]k\in(-\infty,-3]. \end{enumerate} \end{solution}

2012 · 北京 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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