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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={x∈R∣3x+2>0}A = \{x \in \mathbf{R} \mid 3x + 2 > 0\}，B={x∈R∣(x+1)(x−3)>0}B = \{x \in \mathbf{R} \mid (x + 1)(x - 3) > 0\}，则 A∩B=A \cap B =（ ）
A.
(−∞,−1)(-\infty, -1)
B.
(−1,−23)\left(-1, -\frac{2}{3}\right)
C.
(−23,3)\left(-\frac{2}{3}, 3\right)
D.
(3,+∞)(3, +\infty)

2012 · 北京 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
在复平面内，复数 10i3+i\frac{10\mathrm{i}}{3 + \mathrm{i}} 对应的点的坐标为（ ）
A.
(1,3)(1,3)
B.
(3,1)(3,1)
C.
(−1,3)(-1,3)
D.
(3,−1)(3,-1)

2012 · 北京 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03概率与统计★★☆☆☆
设不等式组
{0⩽x⩽2,0⩽y⩽2\begin{cases} 0 \leqslant x \leqslant 2,\\ 0 \leqslant y \leqslant 2 \end{cases}
表示的平面区域为 DD. 在区域 DD 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 22 的概率是（ ）
A.
π4\frac{\pi}{4}
B.
π−22\frac{\pi - 2}{2}
C.
π6\frac{\pi}{6}
D.
4−π4\frac{4 - \pi}{4}

2012 · 北京 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04函数与初等函数★★☆☆☆
执行如图所示的程序框图，输出的 SS 值为（ ）
A.
22
B.
44
C.
88
D.
1616

2012 · 北京 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)=x12−(12)xf(x) = x^{\frac{1}{2}} - \left(\frac{1}{2}\right)^x 的零点个数为（ ）
A.
00
B.
11
C.
22
D.
33

2012 · 北京 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_n\} 为等比数列，下面结论中正确的是（ ）
A.
a1+a3⩾2a2a_{1} + a_{3} \geqslant 2a_{2}
B.
a12+a32⩾2a22a_{1}^{2} + a_{3}^{2} \geqslant 2a_{2}^{2}
C.
若 a1=a3，则 a1=a2\text{若 }a_{1}=a_{3}\text{，则 }a_{1}=a_{2}
D.
若 a3>a1，则 a4>a2\text{若 }a_{3}>a_{1}\text{，则 }a_{4}>a_{2}

2012 · 北京 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07立体几何初步★★★★☆
某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）
A.
28+6528 + 6\sqrt{5}
B.
30+6530 + 6\sqrt{5}
C.
56+12556 + 12\sqrt{5}
D.
60+12560 + 12\sqrt{5}

2012 · 北京 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★☆☆
某果树前 nn 年的总产量 SnS_n 与 nn 之间的关系如图所示. 从目前记录的结果看，前 mm 年的年平均产量最高，mm 的值为（ ）
A.
5
B.
7
C.
9
D.
11

2012 · 北京 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09解析几何★★☆☆☆
直线 y=xy = x 被圆 x2+(y−2)2=4x^2 + (y - 2)^2 = 4 截得的弦长为______.

2012 · 北京 · 文 · 第 9 题 · 填空题

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10数列★★☆☆☆
已知 {an}\{a_n\} 为等差数列，SnS_n 为其前 nn 项和，若 a1=12a_1 = \frac{1}{2}，S2=a3S_2 = a_3，则 a2=a_2=______；Sn=S_n=______.

2012 · 北京 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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11三角函数★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，若 a=3a = 3，b=3b = \sqrt{3}，∠A=π3\angle A = \frac{\pi}{3}，则 ∠C\angle C 的大小为______.

2012 · 北京 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=lg⁡xf(x) = \lg x. 若 f(ab)=1f(ab) = 1，则 f(a2)+f(b2)=f(a^2) + f(b^2)=______.

2012 · 北京 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13平面向量★★☆☆☆
已知正方形 ABCDABCD 的边长为 11，点 EE 是 ABAB 边上的动点，则 DE→⋅CB→\overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{CB} 的值为______；DE→⋅DC→\overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{DC} 的最大值为______.

2012 · 北京 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14不等式★★★☆☆
已知 f(x)=m(x−2m)(x+m+3)f(x) = m(x - 2m)(x + m + 3)，g(x)=2x−2g(x) = 2^{x} - 2. 若 ∀x∈R\forall x \in \mathbf{R}，f(x)<0f(x) < 0 或 g(x)<0g(x) < 0，则 mm 的取值范围是______.

2012 · 北京 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=(sin⁡x−cos⁡x)sin⁡2xsin⁡xf(x) = \dfrac{(\sin x - \cos x)\sin 2x}{\sin x}.
(1) 求 f(x)f(x) 的定义域及最小正周期； (2) 求 f(x)f(x) 的单调递减区间.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由分母不能为零，得 sin⁡x≠0\sin x\ne0，所以定义域为 {x∣x≠kπ, k∈Z}\{x\mid x\ne k\pi,\ k\in\mathbf{Z}\}. 在此定义域内，利用 sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin2x=2\sin x\cos x，得
f(x)=2cos⁡x(sin⁡x−cos⁡x)=sin⁡2x−cos⁡2x−1=2sin⁡(2x−π4)−1f(x)=2\cos x(\sin x-\cos x)=\sin2x-\cos2x-1 =\sqrt{2}\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)-1
化简式的周期为 π\pi，所以 π\pi 是原函数的一个正周期. 另一方面，原函数的定义域排除了恰为 {kπ∣k∈Z}\{k\pi\mid k\in\mathbf{Z}\} 的点；若 TT 是原函数的周期，则平移 TT 必须把这组不可取点保持不变，从而 TT 必须是 π\pi 的整数倍. 因此原函数的最小正周期为 π\pi.
\item 由上式可得 f′(x)=22cos⁡(2x−π4)f'(x)=2\sqrt{2}\cos\left(2x-\frac{\pi}{4}\right). 函数递减时
cos⁡(2x−π4)<0\cos\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)<0
即存在 k∈Zk\in\mathbf{Z}，使
2kπ+π2<2x−π4<2kπ+3π22k\pi+\frac{\pi}{2}<2x-\frac{\pi}{4}<2k\pi+\frac{3\pi}{2}
解得 kπ+3π8<x<kπ+7π8k\pi+\frac{3\pi}{8}<x<k\pi+\frac{7\pi}{8}. 端点处导数为零，但函数在端点及其间的每一点均有定义，故可将递减区间写成相应闭区间；这些区间也不包含被排除的 kπk\pi. 所以单调递减区间为 [kπ+3π8,kπ+7π8]\left[k\pi+\frac{3\pi}{8},k\pi+\frac{7\pi}{8}\right]（k∈Zk\in\mathbf{Z}）. \end{enumerate} \end{solution}

2012 · 北京 · 文 · 第 15 题 · 解答题

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16立体几何初步★★★☆☆
如图 1，在 Rt△ABC\mathrm{Rt}\triangle ABC 中，∠C=90∘\angle C = 90^\circ，DD，EE 分别是 ACAC，ABAB 的中点，点 FF 为线段 CDCD 上的一点，将 △ADE\triangle ADE 沿 DEDE 折起到 △A1DE\triangle A_1DE 的位置，使 A1F⊥CDA_1F \perp CD，如图 2.
(1) 求证：DE∥平面 A1CBDE\parallel\text{平面 }A_1CB； (2) 求证：A1F⊥BEA_1F\perp BE； (3) 线段 A1BA_1B 上是否存在点 QQ，使 A1C⊥平面 DEQA_1C\perp\text{平面 }DEQ？说明理由.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 因为 DD，EE 分别是 ACAC，ABAB 的中点，所以在折叠前 DE∥BCDE\parallel BC，折叠后 DEDE 和 BCBC 的位置均不变，仍有 DE∥BCDE\parallel BC. 又 BC⊂平面 A1CBBC\subset\text{平面 }A_1CB. 只需证明 DEDE 不在该平面内.
若 DE⊂平面 A1CBDE\subset\text{平面 }A_1CB，则平面 A1CBA_1CB 与折叠前的平面 ABCABC 都含有两条互相平行且不重合的直线 DEDE 和 BCBC，从而两平面重合，故 A1∈平面 ABCA_1\in\text{平面 }ABC. 由于 DE⊥ACDE\perp AC，且 DD 是 ACAC 的中点，点 AA 绕折痕 DEDE 后仍落在平面 ABCABC 内时只能处于原位置 AA 或关于 DEDE 的对称位置 CC. 这两种情形下 A1FA_1F 均与 CDCD 共线或退化，不可能满足 A1F⊥CDA_1F\perp CD. 因此 DE⊄平面 A1CBDE\not\subset\text{平面 }A_1CB，所以 DE∥平面 A1CBDE\parallel\text{平面 }A_1CB.
\item 由 AC⊥BCAC\perp BC 且 DE∥BCDE\parallel BC，得 DE⊥ACDE\perp AC，从而 DE⊥CDDE\perp CD. 折叠保持折痕 DEDE 与边 ADAD 的夹角，所以 DE⊥A1DDE\perp A_1D. 直线 A1DA_1D 与 DCDC 在 DD 处相交，且都在平面 A1DCA_1DC 内，故 DE⊥平面 A1DCDE\perp\text{平面 }A_1DC. 因为 F∈CDF\in CD，所以 A1F⊂平面 A1DCA_1F\subset\text{平面 }A_1DC，从而 DE⊥A1FDE\perp A_1F.
已知 A1F⊥CDA_1F\perp CD. 过 FF 作直线 ℓ∥DE\ell\parallel DE. 直线 ℓ\ell 和 CDCD 是平面 BCDEBCDE 内过 FF 的两条相交直线，且 A1F⊥ℓA_1F\perp\ell、A1F⊥CDA_1F\perp CD，所以 A1F⊥平面 BCDEA_1F\perp\text{平面 }BCDE. 由于 BE⊂平面 BCDEBE\subset\text{平面 }BCDE，故 A1F⊥BEA_1F\perp BE.
\item 取 PP，QQ 分别为 A1CA_1C，A1BA_1B 的中点. 在三角形 A1CBA_1CB 中，PQ∥CBPQ\parallel CB，而 DE∥CBDE\parallel CB，所以 PQ∥DEPQ\parallel DE. 平面 DEQDEQ 含有过 QQ 且平行于 DEDE 的直线 PQPQ，故 P∈平面 DEQP\in\text{平面 }DEQ，从而平面 DEQ=平面 DEPDEQ=\text{平面 }DEP.
折叠保持长度，且 DD 是 ACAC 的中点，所以 A1D=AD=DCA_1D=AD=DC. 因而三角形 A1DCA_1DC 是以 A1CA_1C 为底边的等腰三角形；PP 是底边 A1CA_1C 的中点，所以 DP⊥A1CDP\perp A_1C. 由上一步知 DE⊥平面 A1DCDE\perp\text{平面 }A_1DC，故 DE⊥A1CDE\perp A_1C. 又 PQ∥DEPQ\parallel DE，所以 PQ⊥A1CPQ\perp A_1C. 直线 DPDP 与 PQPQ 在 PP 处相交，且均在平面 DEPDEP 内，因此 A1C⊥平面 DEP=平面 DEQA_1C\perp\text{平面 }DEP=\text{平面 }DEQ. 所以存在这样的点 QQ，可取 QQ 为 A1BA_1B 的中点. \end{enumerate} \end{solution}

2012 · 北京 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾，可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱. 为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1000 吨1000\text{ 吨} 生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：
“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱
可回收物3024030
其他垃圾202060
(1) 试估计厨余垃圾投放正确的概率； (2) 试估计生活垃圾投放错误的概率； (3) 假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱，“可回收物”箱，“其他垃圾”箱的投放量分别为 aa，bb，cc，其中 a>0a > 0，a+b+c=600a + b + c = 600. 当数据 aa，bb，cc 的方差 s2s^2 最大时，写出 aa，bb，cc 的值（结论不要求证明），并求此时 s2s^2 的值.
（注：s2=1n[(x1−x‾)2+(x2−x‾)2+⋯+(xn−x‾)2]s^2 = \frac{1}{n}\left[(x_1 - \overline{x})^2 + (x_2 - \overline{x})^2 + \cdots + (x_n - \overline{x})^2\right]，其中 x‾\overline{x} 为 x1x_1，x2x_2，⋯\cdots，xnx_n 的平均数）
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 三类厨余垃圾共 400+100+100=600400+100+100=600 吨，其中正确投放到“厨余垃圾”箱的有 400400 吨，所以估计正确投放的概率为 400600=23\dfrac{400}{600}=\dfrac{2}{3}.
\item 投放错误的垃圾量是所有非对角线数据之和，即 100+100+30+30+20+20=300100+100+30+30+20+20=300 吨. 因而估计生活垃圾投放错误的概率为 3001000=310\dfrac{300}{1000}=\dfrac{3}{10}.
\item 由于 aa，bb，cc 是投放量，bb，c⩾0c\geqslant0. 它们的平均数为 xˉ=a+b+c3=200\bar{x}=\dfrac{a+b+c}{3}=200，所以
s2=13[(a−200)2+(b−200)2+(c−200)2]=a2+b2+c2−1200003s^2=\frac{1}{3}\left[(a-200)^2+(b-200)^2+(c-200)^2\right] =\frac{a^2+b^2+c^2-120000}{3}
在 aa，bb，c⩾0c\geqslant0 且 a+b+c=600a+b+c=600 时， a2+b2+c2⩽(a+b+c)2=360000a^2+b^2+c^2\leqslant(a+b+c)^2=360000，等号当且仅当其中两个数为零. 结合 a>0a>0，方差最大时 a=600a=600，b=c=0b=c=0，并且 s2=360000−1200003=80000s^2=\dfrac{360000-120000}{3}=80000. \end{enumerate} \end{solution}

2012 · 北京 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=ax2+1f(x) = ax^2 + 1 （a>0a > 0），g(x)=x3+bxg(x) = x^3 + bx.
(1) 若曲线 y=f(x)y = f(x) 与曲线 y=g(x)y = g(x) 在它们的交点 (1,c)(1, c) 处具有公共切线，求 aa，bb 的值； (2) 当 a=3a = 3，b=−9b = -9 时，若函数 f(x)+g(x)f(x) + g(x) 在区间 [k,2][k, 2] 上的最大值为 28，求 kk 的取值范围.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 因为 (1,c)(1,c) 同时在两条曲线上，所以 a+1=c=1+ba+1=c=1+b，从而 a=ba=b. 两条曲线在该点具有公共切线，说明导数值相等，即 f′(1)=2af'(1)=2a，g′(1)=3+bg'(1)=3+b，所以 2a=3+b2a=3+b. 联立 a=ba=b 得 a=b=3a=b=3.
\item 令 h(x)=f(x)+g(x)=x3+3x2−9x+1h(x)=f(x)+g(x)=x^3+3x^2-9x+1，则 h′(x)=3x2+6x−9=3(x+3)(x−1)h'(x)=3x^2+6x-9=3(x+3)(x-1). 因此 hh 在 (−∞,−3)(-\infty,-3) 上递增，在 (−3,1)(-3,1) 上递减，在 (1,+∞)(1,+\infty) 上递增. 又 h(−3)=28h(-3)=28，h(1)=−4h(1)=-4，h(2)=3h(2)=3. 区间 [k,2][k,2] 要有意义，需 k⩽2k\leqslant2. 当 k⩽−3k\leqslant-3 时，区间 [k,2][k,2] 包含 x=−3x=-3，且由上述单调性，h(x)h(x) 在该区间上的最大值为 h(−3)=28h(-3)=28. 当 −3<k⩽2-3<k\leqslant2 时，区间不含 −3-3，在 [k,1][k,1] 上函数递减、在 [1,2][1,2] 上函数递增，且 h(k)<28h(k)<28、h(2)=3<28h(2)=3<28，故最大值严格小于 2828. 所以 k∈(−∞,−3]k\in(-\infty,-3]. \end{enumerate} \end{solution}

2012 · 北京 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 （a>b>0a > b > 0）的一个顶点为 A(2,0)A(2, 0)，离心率为 22\frac{\sqrt{2}}{2}，直线 y=k(x−1)y = k(x - 1) 与椭圆 CC 交于不同的两点 MM，NN.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 当 △AMN\triangle AMN 的面积为 103\frac{\sqrt{10}}{3} 时，求 kk 的值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由于 A(2,0)A(2,0) 是长轴顶点，所以 a=2a=2. 设焦半距为 cc，由离心率 e=ca=22e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2} 得 c=2c=\sqrt{2}. 再由 b2=a2−c2b^2=a^2-c^2，得 b2=4−2=2b^2=4-2=2. 所以椭圆方程为 x24+y22=1\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1.
\item 令 M(x1,y1)M(x_1,y_1)，N(x2,y2)N(x_2,y_2). 将 y=k(x−1)y=k(x-1) 代入椭圆方程，得到
(1+2k2)x2−4k2x+2k2−4=0(1+2k^2)x^2-4k^2x+2k^2-4=0
因此
∣x1−x2∣=(−4k2)2−4(1+2k2)(2k2−4)1+2k2=26k2+41+2k2|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{(-4k^2)^2-4(1+2k^2)(2k^2-4)}}{1+2k^2} =\frac{2\sqrt{6k^2+4}}{1+2k^2}
线段 MNMN 在直线 y=k(x−1)y=k(x-1) 上，所以 ∣MN∣=∣x1−x2∣1+k2|MN|=|x_1-x_2|\sqrt{1+k^2}. 点 A(2,0)A(2,0) 到该直线的距离为 ∣2k−k∣1+k2=∣k∣1+k2\dfrac{|2k-k|}{\sqrt{1+k^2}}=\dfrac{|k|}{\sqrt{1+k^2}}. 从而
[△AMN]=12∣MN∣⋅∣k∣1+k2=∣k∣6k2+41+2k2[\triangle AMN]=\frac{1}{2}|MN|\cdot\frac{|k|}{\sqrt{1+k^2}} =\frac{|k|\sqrt{6k^2+4}}{1+2k^2}
令 u=k2u=k^2，由题设面积得
u(6u+4)(1+2u)2=109\frac{u(6u+4)}{(1+2u)^2}=\frac{10}{9}
即 7u2−2u−5=07u^2-2u-5=0. 因而 u=1u=1 或 u=−57u=-\frac{5}{7}. 因为 u=k2⩾0u=k^2\geqslant0，所以 u=1u=1，故 k=±1k=\pm1. \end{enumerate} \end{solution}

2012 · 北京 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20函数与初等函数★★★★★
设 AA 是如下形式的 2 行 3 列的数表，
abcdef\begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \end{array}
满足性质 PP：aa，bb，cc，dd，ee，f∈[−1,1]f \in [-1, 1]，且 a+b+c+d+e+f=0a + b + c + d + e + f = 0. 记 ri(A)r_i(A) 为 AA 的第 ii 行各数之和 （i=1i = 1，22），cj(A)c_j(A) 为 AA 的第 jj 列各数之和 （j=1j = 1，22，33）；记 k(A)k(A) 为 ∣r1(A)∣|r_1(A)|，∣r2(A)∣|r_2(A)|，∣c1(A)∣|c_1(A)|，∣c2(A)∣|c_2(A)|，∣c3(A)∣|c_3(A)| 中的最小值.
(1) 对如下数表 AA，求 k(A)k(A) 的值；
11−0.80.1−0.3−1\begin{array}{ccc} 1 & 1 & -0.8 \\ 0.1 & -0.3 & -1 \end{array}
(2) 设数表 AA 形如
11−1−2ddd−1\begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1 - 2d \\ d & d & -1 \end{array}
其中 −1⩽d⩽0-1 \leqslant d \leqslant 0. 求 k(A)k(A) 的最大值； (3) 对所有满足性质 PP 的 2 行 3 列的数表 AA，求 k(A)k(A) 的最大值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 该数表的两行和分别为 1.21.2 和 −1.2-1.2，三列和分别为 1.11.1，0.70.7 和 −1.8-1.8. 所以 k(A)=min⁡{1.2,1.2,1.1,0.7,1.8}=0.7k(A)=\min\{1.2,1.2,1.1,0.7,1.8\}=0.7.
\item 该数表的行和、列和分别为 r1=1−2dr_1=1-2d，r2=−1+2dr_2=-1+2d，c1=c2=1+dc_1=c_2=1+d，c3=−2−2dc_3=-2-2d. 因为 −1⩽d⩽0-1\leqslant d\leqslant0，有 ∣r1∣=∣r2∣=1−2d⩾1+d⩾0|r_1|=|r_2|=1-2d\geqslant1+d\geqslant0，且 ∣c3∣=2(1+d)⩾1+d|c_3|=2(1+d)\geqslant1+d. 因此 k(A)=1+dk(A)=1+d，其最大值在 d=0d=0 时取得，最大值为 11.
\item 交换两行、交换三列以及同时将全部元素变号，都不改变 k(A)k(A). 三个列和的总和为零，所以至少有两个列和同为非负数或同为非正数；通过交换列并在必要时将全部元素变号，可设所选两列为 c1⩾0c_1\geqslant0、c2⩾0c_2\geqslant0. 再交换两行，可设 r1⩾0r_1\geqslant0. 因而 k(A)⩽r1k(A)\leqslant r_1，k(A)⩽c1k(A)\leqslant c_1，k(A)⩽c2k(A)\leqslant c_2，从而
3k(A)⩽r1+c1+c2=(a+b+c)+(a+d)+(b+e)=a+b−f⩽33k(A)\leqslant r_1+c_1+c_2 =(a+b+c)+(a+d)+(b+e) =a+b-f\leqslant3
所以 k(A)⩽1k(A)\leqslant1. 第（2）问取 d=0d=0 时，数表仍满足性质 PP，且 k(A)=1k(A)=1，故所有满足性质 PP 的数表中 k(A)k(A) 的最大值为 11. \end{enumerate} \end{solution}

2012 · 北京 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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