在约束条件 下，当 $3 \leqslant s \leqslant 5$ 时，目标函数 $z = 3x + 2y$ 的最大值的变化范围是（ ）

在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆准“正三棱锥”形的展品，其中第$1$堆只有$1$层，就一个球；第$2$，$3$，$4$，$\cdots$堆最底层（第$1$层）分别按图示方式固定摆放，从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第$n$堆第$n$层就放一个乒乓球，以 $f(n)$ 表示第 $n$ 堆的乒乓球总数，则 $f(3)=\underline{\hspace{2em}}$；$f(n)=\underline{\hspace{2em}}$. （答案用 $n$ 表示）

已知函数 $f(x) = \sin x + \sin \left(x + \frac{\pi}{2}\right)$，$x \in \mathbf{R}$.

(1) 求 $f(x)$ 的最小正周期； (2) 求 $f(x)$ 的最大值和最小值； (3) 若 $f(\alpha)=\frac{3}{4}$，求 $\sin 2\alpha$ 的值.

某运动员射击一次所得环数 $X$ 的分布列如下：

现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为 $\xi$.

(1) 求该运动员两次都命中 $7$ 环的概率； (2) 求 $\xi$ 的分布列； (3) 求 $\xi$ 的数学期望 $E(\xi)$.

如图所示，$AF$，$DE$ 分别是 $\odot O$，$\odot O_1$ 的直径，$AD$ 与两圆所在的平面均垂直，$AD = 8$，$BC$ 是 $\odot O$ 的直径，$AB = AC = 6$，$OE \parallel AD$.

(1) 求二面角 $B-AD-F$ 的大小； (2) 求直线 $BD$ 与 $EF$ 所成的角.