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01函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 f(x)=3x21−x+lg⁡(3x+1)f(x) = \frac{3x^2}{\sqrt{1 - x}} + \lg (3x + 1) 的定义域是（ ）
A.
(−13,+∞)\left(-\frac{1}{3}, +\infty\right)
B.
(−13,1)\left(-\frac{1}{3}, 1\right)
C.
(−13,13)\left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)
D.
(−∞,−13)\left(-\infty, -\frac{1}{3}\right)

2006 · 广东 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
若复数 zz 满足方程 z2+2=0z^2 + 2 = 0，则 z3=z^3 =（ ）
A.
±22\pm 2\sqrt{2}
B.
−22-2\sqrt{2}
C.
−22i-2\sqrt{2}\mathrm{i}
D.
±22i\pm 2\sqrt{2}\mathrm{i}

2006 · 广东 · 第 2 题 · 选择题

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03函数与初等函数★☆☆☆☆
下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A.
y=−x3y = -x^{3}（x∈Rx \in \mathbf{R}）
B.
y=sin⁡xy = \sin x（x∈Rx \in \mathbf{R}）
C.
y=xy = x（x∈Rx \in \mathbf{R}）
D.
y=(12)xy = \left(\frac{1}{2}\right)^x（x∈Rx \in \mathbf{R}）

2006 · 广东 · 第 3 题 · 选择题

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04平面向量★☆☆☆☆
如图所示，DD 是 △ABC\triangle ABC 的边 ABAB 上的中点，则向量 CD→=\overrightarrow{CD} =（ ）
A.
−BC→+12BA→-\overrightarrow{BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BA}
B.
−BC→−12BA→-\overrightarrow{BC} - \frac{1}{2}\overrightarrow{BA}
C.
BC→−12BA→\overrightarrow{BC} - \frac{1}{2}\overrightarrow{BA}
D.
BC→+12BA→\overrightarrow{BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BA}

2006 · 广东 · 第 4 题 · 选择题

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05立体几何初步★★☆☆☆
给出以下四个命题：
① 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行； ② 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面； ③ 如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行； ④ 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
其中真命题的个数是（ ）
A.
44
B.
33
C.
22
D.
11

2006 · 广东 · 第 5 题 · 选择题

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06数列★★☆☆☆
已知某等差数列共有 1010 项，其奇数项之和为 1515，偶数项之和为 3030，则其公差为（ ）
A.
55
B.
44
C.
33
D.
22

2006 · 广东 · 第 6 题 · 选择题

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07函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 y=f(x)y = f(x) 的反函数 y=f−1(x)y = f^{-1}(x) 的图象与 yy 轴交于点 P(0,2)P(0,2) （如图所示），则方程 f(x)=0f(x) = 0 在 [1,4][1,4] 上的根是 x=x =（ ）
A.
44
B.
33
C.
22
D.
11

2006 · 广东 · 第 7 题 · 选择题

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08解析几何★★☆☆☆
已知双曲线 3x2−y2=93x^{2} - y^{2} = 9，则双曲线右支上的点 PP 到右焦点的距离与点 PP 到右准线的距离之比等于（ ）
A.
2\sqrt{2}
B.
223\frac{2\sqrt{2}}{3}
C.
22
D.
44

2006 · 广东 · 第 8 题 · 选择题

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09不等式★★★☆☆
在约束条件
{x⩾0,y⩾0,x+y⩽s,y+2x⩽4\begin{cases} x \geqslant 0,\\ y \geqslant 0,\\ x + y \leqslant s,\\ y + 2x \leqslant 4 \end{cases}
下，当 3⩽s⩽53 \leqslant s \leqslant 5 时，目标函数 z=3x+2yz = 3x + 2y 的最大值的变化范围是（ ）
A.
[6,15][6, 15]
B.
[7,15][7, 15]
C.
[6,8][6, 8]
D.
[7,8][7, 8]

2006 · 广东 · 第 9 题 · 选择题

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10复数★★☆☆☆
对于任意的两个实数对 (a,b)(a, b) 和 (c,d)(c, d)，规定：(a,b)=(c,d)(a, b) = (c, d)，当且仅当 a=ca = c，b=db = d；运算“⊗\otimes”为：(a,b)⊗(c,d)=(ac−bd,bc+ad)(a, b) \otimes (c, d) = (ac - bd, bc + ad)；运算“⊕\oplus”为：(a,b)⊕(c,d)=(a+c,b+d)(a, b) \oplus (c, d) = (a + c, b + d). 设 pp，q∈Rq \in \mathbf{R}，若 (1,2)⊗(p,q)=(5,0)(1, 2) \otimes (p, q) = (5, 0)，则 (1,2)⊕(p,q)=(1, 2) \oplus (p, q) =（ ）
A.
(4,0)(4, 0)
B.
(2,0)(2, 0)
C.
(0,2)(0, 2)
D.
(0,−4)(0, -4)

2006 · 广东 · 第 10 题 · 选择题

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11函数与初等函数★★☆☆☆
lim⁡x→−2(44−x2−12+x)=‾\displaystyle\lim_{x\to -2}\left(\frac{4}{4 - x^2} -\frac{1}{2 + x}\right) =\underline{\hspace{2em}}

2006 · 广东 · 第 11 题 · 填空题

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12立体几何初步★★☆☆☆
棱长为 33 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______.

2006 · 广东 · 第 12 题 · 填空题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (x−2x)11\left(x - \frac{2}{x}\right)^{11} 的展开式中，x5x^5 的系数为______.

2006 · 广东 · 第 13 题 · 填空题

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14数列★★★☆☆
在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆准“正三棱锥”形的展品，其中第11堆只有11层，就一个球；第22，33，44，⋯\cdots堆最底层（第11层）分别按图示方式固定摆放，从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第nn堆第nn层就放一个乒乓球，以 f(n)f(n) 表示第 nn 堆的乒乓球总数，则 f(3)=‾f(3)=\underline{\hspace{2em}}；f(n)=‾f(n)=\underline{\hspace{2em}}. （答案用 nn 表示）

2006 · 广东 · 第 14 题 · 填空题

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15三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=sin⁡x+sin⁡(x+π2)f(x) = \sin x + \sin \left(x + \frac{\pi}{2}\right)，x∈Rx \in \mathbf{R}.
(1) 求 f(x)f(x) 的最小正周期； (2) 求 f(x)f(x) 的最大值和最小值； (3) 若 f(α)=34f(\alpha)=\frac{3}{4}，求 sin⁡2α\sin 2\alpha 的值.

2006 · 广东 · 第 15 题 · 解答题

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16概率与统计★★★☆☆
某运动员射击一次所得环数 XX 的分布列如下：
现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为 ξ\xi.
(1) 求该运动员两次都命中 77 环的概率； (2) 求 ξ\xi 的分布列； (3) 求 ξ\xi 的数学期望 E(ξ)E(\xi).

2006 · 广东 · 第 16 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图所示，AFAF，DEDE 分别是 ⊙O\odot O，⊙O1\odot O_1 的直径，ADAD 与两圆所在的平面均垂直，AD=8AD = 8，BCBC 是 ⊙O\odot O 的直径，AB=AC=6AB = AC = 6，OE∥ADOE \parallel AD.
(1) 求二面角 B−AD−FB-AD-F 的大小； (2) 求直线 BDBD 与 EFEF 所成的角.

2006 · 广东 · 第 17 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=−x3+3x+2f(x) = -x^3 + 3x + 2 分别在 x1x_1，x2x_2 处取得极小值，极大值. xOyxOy 平面上点 AA，BB 的坐标分别为 (x1,f(x1))(x_1, f(x_1))，(x2,f(x2))(x_2, f(x_2))，该平面上动点 PP 满足 PA→⋅PB→=4\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = 4，点 QQ 是点 PP 关于直线 y=2(x−4)y = 2(x - 4) 的对称点，求：
(1) 求点 AA，BB 的坐标； (2) 动点 QQ 的轨迹方程.

2006 · 广东 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
已知公比为 qq（0<q<10 < q < 1）的无穷等比数列 {an}\{a_{n}\} 各项的和为 99，无穷等比数列 {an2}\{a_{n}^{2}\} 各项的和为 815\frac{81}{5}.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的首项 a1a_{1} 和公比 qq； (2) 对给定的 kk（k=1k = 1，22，33，⋯\cdots，nn），设 T(k)T^{(k)} 是首项为 aka_k，公差为 2ak−12a_k - 1 的等差数列，求 T(2)T^{(2)} 的前 1010 项之和； (3) 设 bib_{i} 为数列 T(i)T^{(i)} 的第 ii 项，Sn=b1+b2+⋯+bnS_{n} = b_{1} + b_{2} + \cdots + b_{n}，求 SnS_{n}，并求正整数 mm（m>1m > 1），使得 lim⁡n→∞Snnm\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{S_{n}}{n^{m}} 存在且不等于零.

2006 · 广东 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★★
AA 是由定义在 [2,4][2,4] 上且满足如下条件的函数 φ(x)\varphi(x) 组成的集合：
① 对任意的 x∈[1,2]x \in [1,2]，都有 φ(2x)∈(1,2)\varphi(2x) \in (1,2)； ② 存在常数 LL（0<L<10 < L < 1），使得对任意的 x1x_1，x2∈[1,2]x_2 \in [1,2]，都有 ∣φ(2x1)−φ(2x2)∣⩽L∣x1−x2∣|\varphi(2x_1) - \varphi(2x_2)| \leqslant L|x_1 - x_2|.
(1) 设 φ(x)=1+x3\varphi(x) = \sqrt[3]{1 + x}，x∈[2,4]x \in [2,4]，证明：φ(x)∈A\varphi(x) \in A； (2) 设 φ(x)∈A\varphi(x) \in A，如果存在 x0∈(1,2)x_0 \in (1,2)，使得 x0=φ(2x0)x_0 = \varphi(2x_0)，那么这样的 x0x_0 是唯一的； (3) 设 φ(x)∈A\varphi(x) \in A，任取 x1∈(1,2)x_1 \in (1,2)，令 xn=φ(2xn−1)x_n = \varphi(2x_{n-1})，n=2n = 2，33，⋯\cdots，证明：给定正整数 kk，对任意的正整数 pp，成立不等式 ∣xk+p−xk∣⩽Lk−11−L∣x2−x1∣|x_{k+p} - x_k| \leqslant \frac{L^{k-1}}{1 - L} |x_2 - x_1|.

2006 · 广东 · 第 20 题 · 解答题

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