函数 的零点个数是______.

\begin{answer} 2 \end{answer}

\begin{solution} 当 $x\leqslant0$ 时，$f(x)=x^2-2$，由 $x^2-2=0$ 得 $x=\pm\sqrt2$，其中只有 $x=-\sqrt2$ 满足定义域，所以这一段有 $1$ 个零点.

当 $x>0$ 时，令 $g(x)=2x-6+\ln x$，则 $g'(x)=2+\frac1x>0$，所以 $g$ 在 $(0,+\infty)$ 上严格递增. 又 $\displaystyle\lim_{x\to0^+}g(x)=-\infty$，且 $g(3)=\ln3>0$，故由零点存在性定理，$g$ 在 $(0,+\infty)$ 上恰有一个零点. 因此 $f(x)$ 共有 $2$ 个零点. \end{solution}

已知集合 $\{a, b, c\} = \{0, 1, 2\}$，且下列三个关系：

① $a \neq 2$； ② $b = 2$； ③ $c \neq 0$

有且只有一个正确，则 $100a + 10b + c =$______.

\begin{answer} 201 \end{answer}

\begin{solution} 因为 $\{a,b,c\}=\{0,1,2\}$，所以 $a$，$b$，$c$ 是 $0$，$1$，$2$ 的一个排列. 若 $b=2$，则 $a$，$c$ 为 $0,1$，此时 $a\neq2$ 与 $b=2$ 同时正确，不符合题意. 因此 $b\neq2$. 若再有 $a\neq2$，则 $a$，$b$ 为 $0,1$，从而 $c=2$，这时 $a\neq2$ 与 $c\neq0$ 同时正确，也不符合题意. 因此 $a=2$. 于是 $b$，$c$ 为 $0,1$，且 $b=2$ 与 $a\neq2$ 均不正确；要恰有一个关系正确，必须 $c\neq0$，所以 $c=1$、$b=0$. 因此 $100a+10b+c=100\times2+10\times0+1=201$. \end{solution}

已知函数 $f(x) = 2\cos x (\sin x + \cos x)$.

(1) 求 $f\left(\frac{5\pi}{4}\right)$ 的值； (2) 求函数 $f(x)$ 的最小正周期及单调递增区间.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 将 $x=\frac{5\pi}{4}$ 代入，得 $f\left(\frac{5\pi}{4}\right)=2\cos\frac{5\pi}{4}\left(\sin\frac{5\pi}{4}+\cos\frac{5\pi}{4}\right)=2$. \item 化简得 $f(x)=2\sin x\cos x+2\cos^2x=1+\sin2x+\cos2x=1+\sqrt2\sin\left(2x+\frac\pi4\right)$. 因此最小正周期满足 $2T=2\pi$，即 $T=\pi$. 又 $f'(x)=2\sqrt2\cos\left(2x+\frac\pi4\right)$，所以在单调递增区间内 $f'(x)\geqslant0$，且内部除端点外为正，即 $-\frac\pi2+2k\pi\leqslant2x+\frac\pi4\leqslant\frac\pi2+2k\pi$，从而 $k\pi-\frac{3\pi}{8}\leqslant x\leqslant k\pi+\frac\pi8$. 故函数的单调递增区间为 $\left[k\pi-\frac{3\pi}{8},k\pi+\frac\pi8\right]$，其中 $k\in\mathbf{Z}$. \end{enumerate} \end{solution}

如图，三棱锥 $A - BCD$ 中，$AB \perp$ 平面 $BCD$，$CD \perp BD$.

(1) 求证：$CD \perp$ 平面 $ABD$； (2) 若 $AB = BD = CD = 1$，$M$ 为 $AD$ 中点，求三棱锥 $A - MBC$ 的体积.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 因为 $AB\perp$ 平面 $BCD$，且 $CD$ 在平面 $BCD$ 内，所以 $AB\perp CD$. 题设又给出 $BD\perp CD$，而 $AB$ 与 $BD$ 是平面 $ABD$ 内相交的两条直线. 因此由直线与平面垂直的判定定理，$CD\perp$ 平面 $ABD$. \item 建立空间直角坐标系，取 $B=(0,0,0)$、$D=(1,0,0)$、$C=(1,1,0)$、$A=(0,0,1)$，则条件 $AB\perp$ 平面 $BCD$、$AB=BD=CD=1$ 均满足. 因为 $M$ 是 $AD$ 的中点，所以 $M=\left(\frac12,0,\frac12\right)$. 于是 $\overrightarrow{AM}=\left(\frac12,0,-\frac12\right)$，$\overrightarrow{AB}=(0,0,-1)$，$\overrightarrow{AC}=(1,1,-1)$. 计算得 $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(1,-1,0)$，从而 $V_{A-MBC}=\frac16\left|\overrightarrow{AM}\cdot\left(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right)\right|=\frac16\times\frac12=\frac1{12}$. \end{enumerate} \end{solution}

根据世行 $2013$ 年新标准，人均 $\mathrm{GDP}$ 低于 $1035\ \text{美元}$ 为低收入国家；人均 $\mathrm{GDP}$ 为 $1035\text{—}4085\ \text{美元}$ 为中等偏下收入国家；人均 $\mathrm{GDP}$ 为 $4085\text{—}12616\ \text{美元}$ 为中等偏上收入国家；人均 $\mathrm{GDP}$ 不低于 $12616\ \text{美元}$ 为高收入国家. 某城市有 $5$ 个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均 $\mathrm{GDP}$ 如下表：

(1) 判断该城市人均 $\mathrm{GDP}$ 是否达到中等偏上收入国家标准； (2) 现从该城市 $5$ 个行政区中随机抽取 $2$ 个，求抽到的 $2$ 个行政区人均 $\mathrm{GDP}$ 都达到中等偏上收入国家标准的概率.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 以全市人口为 $1$，按各行政区人口比例加权，城市人均 $\mathrm{GDP}$ 为 $0.25\times8000+0.30\times4000+0.15\times6000+0.10\times3000+0.20\times10000=6400$ 美元. 因为 $4085\leqslant6400<12616$，所以该城市达到中等偏上收入国家标准. \item 达到中等偏上收入国家标准的行政区为 A、C、E，共 $3$ 个. 从 $5$ 个行政区中随机抽取 $2$ 个，基本事件总数为 $\mathrm C_5^2=10$，有利事件数为从 A、C、E 中抽取 $2$ 个，即 $\mathrm C_3^2=3$. 因此所求概率为 $\frac{\mathrm C_3^2}{\mathrm C_5^2}=\frac3{10}$. \end{enumerate} \end{solution}