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05三角函数★★★☆☆
将函数 y=3sin⁡(x−θ)y = 3\sin (x - \theta) 的图象 FF 按向量 (π3,3)\left(\frac{\pi}{3}, 3\right) 平移得到图象 F′F'，若 F′F' 的一条对称轴是直线 x=π4x = \frac{\pi}{4}，则 θ\theta 的一个可能取值是（ ）
A.
512π\frac{5}{12}\pi
B.
−512π-\frac{5}{12}\pi
C.
1112π\frac{11}{12}\pi
D.
−1112π-\frac{11}{12}\pi

2008 · 湖北 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06计数原理与组合数学★★★☆☆
将 55 名志愿者分配到 33 个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为（ ）
A.
540540
B.
300300
C.
180180
D.
150150

2008 · 湖北 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07导数及其应用★★★☆☆
若 f(x)=−12x2+bln⁡(x+2)f(x) = -\frac{1}{2} x^2 + b \ln (x + 2) 在 (−1,+∞)(-1, +\infty) 上是减函数，则 bb 的取值范围是（ ）
A.
[−1,+∞)[-1, +\infty)
B.
(−1,+∞)(-1, +\infty)
C.
(−∞,−1](-\infty, -1]
D.
(−∞,−1)(- \infty, -1)

2008 · 湖北 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08导数及其应用★★★☆☆
已知 m∈N∗m \in \mathbf{N}^*，aa，b∈Rb \in \mathbf{R}. 若 lim⁡x→0(1+x)m+ax=b\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^m + a}{x} = b，则 a⋅b=a \cdot b =（ ）
A.
−m-m
B.
mm
C.
−1-1
D.
11

2008 · 湖北 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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10解析几何★★★☆☆
如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点 PP 轨进入以月球球心 FF 为一个焦点的椭圆轨道 II 绕月飞行，之后卫星在 PP 点第二次变轨进入仍以 FF 为一个焦点的椭圆轨道 IIII 绕月飞行，最终卫星在 PP 点第三次变轨进入以 FF 为圆心的圆形轨道 IIIIII 绕月飞行，若用 2c12c_1 和 2c22c_2 分别表示椭圆轨道 II 和 IIII 的焦距，用 2a12a_1 和 2a22a_2 分别表示椭圆轨道 II 和 IIII 的长轴的长，给出下列式子：
① a1+c1=a2+c2a_1 + c_1 = a_2 + c_2； ② a1−c1=a2−c2a_1 - c_1 = a_2 - c_2； ③ c1a2>a1c2c_1a_2 > a_1c_2； ④ c1a1<c2a2\frac{c_1}{a_1} < \frac{c_2}{a_2}.
其中正确式子的序号是（ ）
A.
①③
B.
②③
C.
①④
D.
②④

2008 · 湖北 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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15数列★★★☆☆
观察下列等式： ∑i=1ni=12n2+12n\sum_{i=1}^{n} i = \frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{2} n， ∑i=1ni2=13n3+12n2+16n\sum_{i=1}^{n} i^{2} = \frac{1}{3} n^{3} + \frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{6} n， ∑i=1ni3=14n4+12n3+14n2\sum_{i=1}^{n} i^{3} = \frac{1}{4} n^{4} + \frac{1}{2} n^{3} + \frac{1}{4} n^{2}， ∑i=1ni4=15n5+12n4+13n3−130n2\sum_{i=1}^{n} i^{4} = \frac{1}{5} n^{5} + \frac{1}{2} n^{4} + \frac{1}{3} n^{3} - \frac{1}{30} n^{2}， ∑i=1ni5=16n6+12n5+512n4−112n2\sum_{i=1}^{n} i^{5} = \frac{1}{6} n^{6} + \frac{1}{2} n^{5} + \frac{5}{12} n^{4} - \frac{1}{12} n^{2}， ∑i=1ni6=17n7+12n6+12n5−16n3+142n2\sum_{i=1}^{n} i^{6} = \frac{1}{7} n^{7} + \frac{1}{2} n^{6} + \frac{1}{2} n^{5} - \frac{1}{6} n^{3} + \frac{1}{42} n^{2}， ⋯∑i=1nik=ak+1nk+1+aknk+ak−1nk−1+ak−2nk−2+⋯+a1n+a0\cdots \sum_{i=1}^{n} i^{k} = a_{k+1} n^{k+1} + a_{k} n^{k} + a_{k-1} n^{k-1} + a_{k-2} n^{k-2} + \cdots + a_{1} n + a_{0}， 可以推测，当 k⩾2k \geqslant 2（k∈N∗k \in \mathbf{N}^{*}）时，ak+1=1k+1a_{k+1} = \frac{1}{k+1}，ak=12a_{k} = \frac{1}{2}，ak−1=a_{k-1} =______，ak−2=a_{k-2} =______.

2008 · 湖北 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16三角函数★★★☆☆
已知函数 f(t)=1−t1+tf(t) = \sqrt{\frac{1 - t}{1 + t}}，g(x)=cos⁡x⋅f(sin⁡x)+sin⁡x⋅f(cos⁡x)g(x) = \cos x \cdot f(\sin x) + \sin x \cdot f(\cos x)，x∈(π,17π12]x \in \left(\pi, \frac{17\pi}{12}\right].
(1) 将函数 g(x)g(x) 化简成 Asin⁡(ωx+φ)+BA\sin(\omega x + \varphi) + B（A>0A>0，ω>0\omega>0，φ∈[0,2π)\varphi\in[0,2\pi)）的形式； (2) 求函数 g(x)g(x) 的值域.

2008 · 湖北 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
袋中有 2020 个大小相同的球，其中记上 00 号的有 1010 个，记上 nn 号的有 nn 个（n=1n=1，22，33，44）. 现从袋中任取一球，ξ\xi 表示所取球的标号.
(1) 求 ξ\xi 的分布列，期望和方差； (2) 若 η=aξ+b\eta = a\xi + b，E(η)=1E(\eta) = 1，D(η)=11D(\eta) = 11，试求 aa，bb 的值.

2008 · 湖北 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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20函数与初等函数★★★☆☆
水库的蓄水量随时间而变化. 用 tt 表示时间，以月为单位，年初为起点. 根据历年数据，某水库的蓄水量 （单位：亿立方米） 关于 tt 的近似函数关系式为
V(t)={(−t2+14t−40)e14t+50,0<t⩽10,4(t−10)(3t−41)+50,10<t⩽12.V(t) = \begin{cases} (-t^2 + 14t - 40)\mathrm{e}^{\frac14 t} + 50, & 0 < t \leqslant 10,\\ 4(t - 10)(3t - 41) + 50, & 10 < t \leqslant 12. \end{cases}
(1) 该水库的蓄水量小于 5050 的时期称为枯水期. 以 i−1<t<ii-1<t<i 表示第 ii 月份（i=1i=1，22，…\dots，1212），同一年内哪几个月份是枯水期？ (2) 求一年内该水库的最大蓄水量 （取 e=2.7\mathrm{e} = 2.7 计算）.

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