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01平面向量★☆☆☆☆
设 a=(1,−2)\boldsymbol{a}=(1,-2)，b=(−3,4)\boldsymbol{b}=(-3,4)，c=(3,2)\boldsymbol{c}=(3,2)，则 (a+2b)⋅c=(\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b})\cdot \boldsymbol{c}=（ ）
A.
(−15,12)(-15,12)
B.
00
C.
−3-3
D.
−11-11

2008 · 湖北 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★★☆☆☆
若非空集合 AA，BB，CC 满足 A∪B=CA \cup B = C，且 BB 不是 AA 的子集，则（ ）
A.
“x∈Cx \in C”是“x∈Ax \in A”的充分条件但不是必要条件
B.
“x∈Cx \in C”是“x∈Ax \in A”的必要条件但不是充分条件
C.
“x∈Cx \in C”是“x∈Ax \in A”的充要条件
D.
“x∈Cx \in C”既不是“x∈Ax \in A”的充分条件也不是“x∈Ax \in A”的必要条件

2008 · 湖北 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03立体几何初步★★☆☆☆
用与球心距离为11的平面去截球，所得的截面面积为 π\pi，则球的体积为（ ）
A.
8π3\frac{8\pi}{3}
B.
82π3\frac{8\sqrt{2}\pi}{3}
C.
82π8\sqrt{2}\pi
D.
32π3\frac{32\pi}{3}

2008 · 湖北 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)=1xln⁡(x2−3x+2+−x2−3x+4)f(x) = \frac{1}{x} \ln \left( \sqrt{x^2 - 3x + 2} + \sqrt{-x^2 - 3x + 4} \right) 的定义域为（ ）
A.
(−∞,−4]∪[2,+∞)(- \infty, -4] \cup [2, +\infty)
B.
(−4,0)∪(0,1)(-4,0)\cup (0,1)
C.
[−4,0)∪(0,1][-4,0)\cup (0,1]
D.
[−4,0)∪(0,1)[-4,0)\cup (0,1)

2008 · 湖北 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05三角函数★★★☆☆
将函数 y=3sin⁡(x−θ)y = 3\sin (x - \theta) 的图象 FF 按向量 (π3,3)\left(\frac{\pi}{3}, 3\right) 平移得到图象 F′F'，若 F′F' 的一条对称轴是直线 x=π4x = \frac{\pi}{4}，则 θ\theta 的一个可能取值是（ ）
A.
512π\frac{5}{12}\pi
B.
−512π-\frac{5}{12}\pi
C.
1112π\frac{11}{12}\pi
D.
−1112π-\frac{11}{12}\pi

2008 · 湖北 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06计数原理与组合数学★★★☆☆
将 55 名志愿者分配到 33 个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为（ ）
A.
540540
B.
300300
C.
180180
D.
150150

2008 · 湖北 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07导数及其应用★★★☆☆
若 f(x)=−12x2+bln⁡(x+2)f(x) = -\frac{1}{2} x^2 + b \ln (x + 2) 在 (−1,+∞)(-1, +\infty) 上是减函数，则 bb 的取值范围是（ ）
A.
[−1,+∞)[-1, +\infty)
B.
(−1,+∞)(-1, +\infty)
C.
(−∞,−1](-\infty, -1]
D.
(−∞,−1)(- \infty, -1)

2008 · 湖北 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08导数及其应用★★★☆☆
已知 m∈N∗m \in \mathbf{N}^*，aa，b∈Rb \in \mathbf{R}. 若 lim⁡x→0(1+x)m+ax=b\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^m + a}{x} = b，则 a⋅b=a \cdot b =（ ）
A.
−m-m
B.
mm
C.
−1-1
D.
11

2008 · 湖北 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09解析几何★★★★☆
过点 A(11,2)A(11,2) 作圆 x2+y2+2x−4y−164=0x^{2} + y^{2} + 2x - 4y - 164 = 0 的弦，其中弦长为整数的共有（ ）
A.
16 条16\text{ 条}
B.
17 条17\text{ 条}
C.
32 条32\text{ 条}
D.
34 条34\text{ 条}

2008 · 湖北 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10解析几何★★★☆☆
如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点 PP 轨进入以月球球心 FF 为一个焦点的椭圆轨道 II 绕月飞行，之后卫星在 PP 点第二次变轨进入仍以 FF 为一个焦点的椭圆轨道 IIII 绕月飞行，最终卫星在 PP 点第三次变轨进入以 FF 为圆心的圆形轨道 IIIIII 绕月飞行，若用 2c12c_1 和 2c22c_2 分别表示椭圆轨道 II 和 IIII 的焦距，用 2a12a_1 和 2a22a_2 分别表示椭圆轨道 II 和 IIII 的长轴的长，给出下列式子：
① a1+c1=a2+c2a_1 + c_1 = a_2 + c_2； ② a1−c1=a2−c2a_1 - c_1 = a_2 - c_2； ③ c1a2>a1c2c_1a_2 > a_1c_2； ④ c1a1<c2a2\frac{c_1}{a_1} < \frac{c_2}{a_2}.
其中正确式子的序号是（ ）
A.
①③
B.
②③
C.
①④
D.
②④

2008 · 湖北 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11复数★★☆☆☆
设 z1z_{1} 是复数，z2=z1−iz1‾z_{2} = z_{1} - \mathrm{i}\overline{z_1}（其中 z1‾\overline{z_1} 表示 z1z_{1} 的共轭复数），已知 z2z_{2} 的实部是 −1-1，则 z2z_{2} 的虚部为______.

2008 · 湖北 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12三角函数★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，三个角 AA，BB，CC 的对边边长分别为 a=3a = 3，b=4b = 4，c=6c = 6，则 bccos⁡A+cacos⁡B+abcos⁡Cbc \cos A + ca \cos B + ab \cos C 的值为______.

2008 · 湖北 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=x2+2x+af(x) = x^2 + 2x + a，f(bx)=9x2−6x+2f(bx) = 9x^2 - 6x + 2，其中 x∈Rx \in \mathbf{R}，aa，bb 为常数，则方程 f(ax+b)=0f(ax + b) = 0 的解集为______.

2008 · 湖北 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=2xf(x) = 2^x，等差数列 {an}\{a_n\} 的公差为 2. 若 f(a2+a4+a6+a8+a10)=4f(a_2 + a_4 + a_6 + a_8 + a_{10}) = 4，则 log⁡2[f(a1)⋅f(a2)⋅f(a3)⋯f(a10)]=\log_2[f(a_1) \cdot f(a_2) \cdot f(a_3) \cdots f(a_{10})] =______.

2008 · 湖北 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15数列★★★☆☆
观察下列等式： ∑i=1ni=12n2+12n\sum_{i=1}^{n} i = \frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{2} n， ∑i=1ni2=13n3+12n2+16n\sum_{i=1}^{n} i^{2} = \frac{1}{3} n^{3} + \frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{6} n， ∑i=1ni3=14n4+12n3+14n2\sum_{i=1}^{n} i^{3} = \frac{1}{4} n^{4} + \frac{1}{2} n^{3} + \frac{1}{4} n^{2}， ∑i=1ni4=15n5+12n4+13n3−130n2\sum_{i=1}^{n} i^{4} = \frac{1}{5} n^{5} + \frac{1}{2} n^{4} + \frac{1}{3} n^{3} - \frac{1}{30} n^{2}， ∑i=1ni5=16n6+12n5+512n4−112n2\sum_{i=1}^{n} i^{5} = \frac{1}{6} n^{6} + \frac{1}{2} n^{5} + \frac{5}{12} n^{4} - \frac{1}{12} n^{2}， ∑i=1ni6=17n7+12n6+12n5−16n3+142n2\sum_{i=1}^{n} i^{6} = \frac{1}{7} n^{7} + \frac{1}{2} n^{6} + \frac{1}{2} n^{5} - \frac{1}{6} n^{3} + \frac{1}{42} n^{2}， ⋯∑i=1nik=ak+1nk+1+aknk+ak−1nk−1+ak−2nk−2+⋯+a1n+a0\cdots \sum_{i=1}^{n} i^{k} = a_{k+1} n^{k+1} + a_{k} n^{k} + a_{k-1} n^{k-1} + a_{k-2} n^{k-2} + \cdots + a_{1} n + a_{0}， 可以推测，当 k⩾2k \geqslant 2（k∈N∗k \in \mathbf{N}^{*}）时，ak+1=1k+1a_{k+1} = \frac{1}{k+1}，ak=12a_{k} = \frac{1}{2}，ak−1=a_{k-1} =______，ak−2=a_{k-2} =______.

2008 · 湖北 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16三角函数★★★☆☆
已知函数 f(t)=1−t1+tf(t) = \sqrt{\frac{1 - t}{1 + t}}，g(x)=cos⁡x⋅f(sin⁡x)+sin⁡x⋅f(cos⁡x)g(x) = \cos x \cdot f(\sin x) + \sin x \cdot f(\cos x)，x∈(π,17π12]x \in \left(\pi, \frac{17\pi}{12}\right].
(1) 将函数 g(x)g(x) 化简成 Asin⁡(ωx+φ)+BA\sin(\omega x + \varphi) + B（A>0A>0，ω>0\omega>0，φ∈[0,2π)\varphi\in[0,2\pi)）的形式； (2) 求函数 g(x)g(x) 的值域.

2008 · 湖北 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
袋中有 2020 个大小相同的球，其中记上 00 号的有 1010 个，记上 nn 号的有 nn 个（n=1n=1，22，33，44）. 现从袋中任取一球，ξ\xi 表示所取球的标号.
(1) 求 ξ\xi 的分布列，期望和方差； (2) 若 η=aξ+b\eta = a\xi + b，E(η)=1E(\eta) = 1，D(η)=11D(\eta) = 11，试求 aa，bb 的值.

2008 · 湖北 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★★☆
如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，平面 A1BC⊥A_{1}BC \perp 侧面 A1ABB1A_{1}ABB_{1}.
(1) 求证： AB⊥BCAB \perp BC； (2) 若直线 ACAC 与平面 A1BCA_{1}BC 所成的角为 θ\theta，二面角 A1−BC−AA_{1} - BC - A 的大小为 φ\varphi，试判断 θ\theta 与 φ\varphi 的大小关系，并予以证明.

2008 · 湖北 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
如图，在以点 OO 为圆心，∣AB∣=4|AB| = 4 为直径的半圆 ADBADB 中，OD⊥ABOD \perp AB，PP 是半圆弧上一点，∠POB=30∘\angle POB = 30^{\circ}，曲线 CC 是满足 ∣∣MA∣−∣MB∣∣\left||MA|-|MB|\right| 为定值的动点 MM 的轨迹，且曲线 CC 过点 PP.
(1) 建立适当的平面直角坐标系，求曲线 CC 的方程； (2) 设过点 DD 的直线 ll 与曲线 CC 相交于不同的两点 EE，FF. 若 △OEF\triangle OEF 的面积不小于 222\sqrt{2}，求直线 ll 斜率的取值范围.

2008 · 湖北 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20函数与初等函数★★★☆☆
水库的蓄水量随时间而变化. 用 tt 表示时间，以月为单位，年初为起点. 根据历年数据，某水库的蓄水量 （单位：亿立方米） 关于 tt 的近似函数关系式为
V(t)={(−t2+14t−40)e14t+50,0<t⩽10,4(t−10)(3t−41)+50,10<t⩽12.V(t) = \begin{cases} (-t^2 + 14t - 40)\mathrm{e}^{\frac14 t} + 50, & 0 < t \leqslant 10,\\ 4(t - 10)(3t - 41) + 50, & 10 < t \leqslant 12. \end{cases}
(1) 该水库的蓄水量小于 5050 的时期称为枯水期. 以 i−1<t<ii-1<t<i 表示第 ii 月份（i=1i=1，22，…\dots，1212），同一年内哪几个月份是枯水期？ (2) 求一年内该水库的最大蓄水量 （取 e=2.7\mathrm{e} = 2.7 计算）.

2008 · 湖北 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_{n}\} 和 {bn}\{b_{n}\} 满足： a1=λa_1 = \lambda，an+1=23an+n−4a_{n + 1} = \frac{2}{3} a_n + n - 4，bn=(−1)n(an−3n+21)b_n = (-1)^n (a_n - 3n + 21)，其中 λ\lambda 为实数，nn 为正整数.
(1) 对任意实数 λ\lambda，证明数列 {an}\{a_{n}\} 不是等比数列； (2) 试判断数列 {bn}\{b_n\} 是否为等比数列，并证明你的结论； (3) 设 0<a<b0 < a < b，SnS_{n} 为数列 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项和. 是否存在实数 λ\lambda，使得对任意正整数 nn，都有 a<Sn<ba < S_{n} < b？若存在，求 λ\lambda 的取值范围；若不存在，说明理由.

2008 · 湖北 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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