设 $0 < x < \frac{\pi}{2}$，则“$x \sin^2 x < 1$”是“$x \sin x < 1$”的（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 记命题甲为“$x\sin^2x<1$”，记命题乙为“$x\sin x<1$”. 由于 $0<x<\frac{\pi}{2}$，有 $0<\sin x<1$，故 所以命题乙成立时必有命题甲成立，即命题甲是命题乙的必要条件.

下面说明命题甲不是命题乙的充分条件. 函数 $g(x)=x\sin x$ 在 $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ 上严格递增，因为 $g'(x)=\sin x+x\cos x>0$. 又 $g(1)=\sin1<1$，而 $g\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}>1$，所以存在唯一的 $x_0\in\left(1,\frac{\pi}{2}\right)$ 使 $g(x_0)=1$. 此时 $x_0\sin^2x_0=\sin x_0<1$. 由连续性，取 $x>x_0$ 且足够接近 $x_0$，仍有 $x\sin^2x<1$，但因 $g$ 严格递增而有 $x\sin x>1$. 因此命题甲不充分.

所以“$x\sin^2x<1$”是“$x\sin x<1$”的必要而不充分条件，故选 B. \end{solution}

若正实数 $x$，$y$ 满足 $2x + y + 6 = xy$，则 $xy$ 的最小值是______.

\begin{answer} $18$ \end{answer}

\begin{solution} 由题设 所以 若 $0<x<1$，则 $-1<x-1<0$，从而 $y-2=\frac{8}{x-1}<-8$，即 $y<-6$，与 $y>0$ 矛盾；$x=1$ 也不满足 $(x-1)(y-2)=8$. 因此 $x>1$，从而 $y-2=\frac{8}{x-1}>0$. 令 $u=x-1>0$，$v=y-2>0$，则 $uv=8$，且 由均值不等式， 等号当且仅当 $u=2$，即 $v=4$. 因此 $xy\geqslant18$. 当 $x=3$，$y=6$ 时满足原条件且 $xy=18$，所以最小值为 $18$. \end{solution}

某商家一月份至五月份累计销售额达 3860 万元，预测六月份销售额为 500 万元. 七月份销售额比六月份递增 $x\%$，八月份销售额比七月份递增 $x\%$，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等. 若一月至十月份销售总额至少达 7000 万元，则 $x$ 的最小值是______.

\begin{answer} $20$ \end{answer}

\begin{solution} 设 $t=1+\frac{x}{100}$. 则七月份和八月份的销售额分别为 $500t$ 万元和 $500t^2$ 万元，九、十月份销售总额为 $500t+500t^2$ 万元. 因而一月至十月份的销售总额为 由总额至少为 $7000$ 万元，得 因 $t>0$，解得 所以 $1+\frac{x}{100}\geqslant\frac65$，$x\geqslant20$. 当 $x=20$ 时恰好达到下界，故 $x$ 的最小值为 $20$. \end{solution}

在 $\triangle ABC$ 中，角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$. 设 $S$ 为 $\triangle ABC$ 的面积，满足 $S = \frac{\sqrt{3}}{4}(a^2 + b^2 - c^2)$.

(1) 求角 $C$ 的大小； (2) 求 $\sin A + \sin B$ 的最大值.

设 $a_1$，$d$ 为实数，首项为 $a_1$，公差为 $d$ 的等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，满足 $S_5S_6 + 15 = 0$.

(1) 若 $S_5 = 5$，求 $S_6$ 及 $a_1$； (2) 求 $d$ 的取值范围.