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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设 P={x∣x<1}P = \{x \mid x < 1\}，Q={x∣x2<4}Q = \{x \mid x^2 < 4\}，则 P∩Q=P \cap Q =（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 由 x2<4x^2<4 得 −2<x<2-2<x<2，所以 Q={x∣−2<x<2}Q=\{x\mid -2<x<2\}. 与 P={x∣x<1}P=\{x\mid x<1\} 取交集，得到 P∩Q={x∣−2<x<1}P\cap Q=\{x\mid -2<x<1\}，故选 D. \end{solution}
A.
{x∣−1<x<2}\{x\mid -1 < x < 2\}
B.
{x∣−3<x<−1}\{x\mid -3 < x < -1\}
C.
{x∣1<x<4}\{x\mid 1 < x < 4\}
D.
{x∣−2<x<1}\{x\mid -2 < x < 1\}

2010 · 浙江 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02指数函数与对数函数★☆☆☆☆
已知函数 f(x)=log⁡2(x+1)f(x) = \log_2(x + 1)，若 f(α)=1f(\alpha) = 1，则 α=\alpha =（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 函数有定义必须满足 x+1>0x+1>0. 由 f(α)=1f(\alpha)=1 得 log⁡2(α+1)=1\log_2(\alpha+1)=1，于是 α+1=21=2\alpha+1=2^1=2，所以 α=1\alpha=1，故选 B. \end{solution}
A.
00
B.
11
C.
22
D.
33

2010 · 浙江 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03复数★☆☆☆☆
设 i\mathrm{i} 为虚数单位，则 5−i1+i=\frac{5 - \mathrm{i}}{1 + \mathrm{i}} =（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 分母 1+i1+\mathrm{i} 的共轭复数为 1−i1-\mathrm{i}，因此
5−i1+i=(5−i)(1−i)(1+i)(1−i)=5−5i−i+i22=4−6i2=2−3i\frac{5-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=\frac{(5-\mathrm{i})(1-\mathrm{i})}{(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})} =\frac{5-5\mathrm{i}-\mathrm{i}+\mathrm{i}^2}{2} =\frac{4-6\mathrm{i}}{2}=2-3\mathrm{i}
故选 C. \end{solution}
A.
−2−3i-2 - 3\mathrm{i}
B.
−2+3i-2 + 3\mathrm{i}
C.
2−3i2 - 3\mathrm{i}
D.
2+3i2 + 3\mathrm{i}

2010 · 浙江 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04数列★★☆☆☆
某程序框图如图所示，若输出的 S=57S = 57，则判断框内为（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 初始时 S=1S=1，k=1k=1. 每循环一次先令 k=k+1k=k+1，再令 S=2S+kS=2S+k，所以各次循环后的数值依次为 (S,k)=(4,2)(S,k)=(4,2)，(11,3)(11,3)，(26,4)(26,4)，(57,5)(57,5). 当输出 S=57S=57 时，判断框必须在 k=5k=5 时回答“是”，因此判断条件可为 k>4k>4，故选 A. 若条件为 k>5k>5、k>6k>6 或 k>7k>7，则在 k=5k=5 时不能输出 5757. \end{solution}
A.
k>4k > 4
B.
k>5k > 5
C.
k>6k > 6
D.
k>7k > 7

2010 · 浙江 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05数列★★☆☆☆
设 SnS_n 为等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，8a2+a5=08a_2 + a_5 = 0，则 S5S2=\frac{S_5}{S_2} =（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 设等比数列的公比为 qq. 按等比数列的定义，q≠0q\ne0. 因为所求比值有意义，所以 S2≠0S_2\ne0. 若 a2=0a_2=0，则 a1=a2q=0a_1=\frac{a_2}{q}=0，从而 S2=0S_2=0，矛盾，故 a2≠0a_2\ne0. 又 a5=a2q3a_5=a_2q^3，由题设得
8a2+a5=a2(8+q3)=08a_2+a_5=a_2(8+q^3)=0
所以 q3=−8q^3=-8，即 q=−2q=-2. 因而
S5S2=a1(1−q5)(1−q)a1(1−q2)(1−q)=1−q51−q2=1−(−2)51−(−2)2=33−3=−11\frac{S_5}{S_2} =\frac{a_1\frac{(1-q^5)}{(1-q)}}{a_1\frac{(1-q^2)}{(1-q)}} =\frac{1-q^5}{1-q^2} =\frac{1-(-2)^5}{1-(-2)^2} =\frac{33}{-3}=-11
故选 A. \end{solution}
A.
−11-11
B.
−8-8
C.
55
D.
1111

2010 · 浙江 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06集合与逻辑基础★★★☆☆
设 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2}，则“xsin⁡2x<1x \sin^2 x < 1”是“xsin⁡x<1x \sin x < 1”的（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 记命题甲为“xsin⁡2x<1x\sin^2x<1”，记命题乙为“xsin⁡x<1x\sin x<1”. 由于 0<x<π20<x<\frac{\pi}{2}，有 0<sin⁡x<10<\sin x<1，故
xsin⁡2x<xsin⁡xx\sin^2x<x\sin x
所以命题乙成立时必有命题甲成立，即命题甲是命题乙的必要条件.
下面说明命题甲不是命题乙的充分条件. 函数 g(x)=xsin⁡xg(x)=x\sin x 在 (0,π2)\left(0,\frac{\pi}{2}\right) 上严格递增，因为 g′(x)=sin⁡x+xcos⁡x>0g'(x)=\sin x+x\cos x>0. 又 g(1)=sin⁡1<1g(1)=\sin1<1，而 g(π2)=π2>1g\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}>1，所以存在唯一的 x0∈(1,π2)x_0\in\left(1,\frac{\pi}{2}\right) 使 g(x0)=1g(x_0)=1. 此时 x0sin⁡2x0=sin⁡x0<1x_0\sin^2x_0=\sin x_0<1. 由连续性，取 x>x0x>x_0 且足够接近 x0x_0，仍有 xsin⁡2x<1x\sin^2x<1，但因 gg 严格递增而有 xsin⁡x>1x\sin x>1. 因此命题甲不充分.
所以“xsin⁡2x<1x\sin^2x<1”是“xsin⁡x<1x\sin x<1”的必要而不充分条件，故选 B. \end{solution}
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2010 · 浙江 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07不等式★★☆☆☆
若实数 xx，yy 满足不等式组
{x+3y−3⩾0,2x−y−3⩽0,x−y+1⩾0,\begin{cases} x + 3y - 3 \geqslant 0,\\ 2x - y - 3 \leqslant 0,\\ x - y + 1 \geqslant 0, \end{cases}
则 x+yx + y 的最大值为（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 由 2x−y−3⩽02x-y-3\leqslant0 得 y⩾2x−3y\geqslant2x-3，由 x−y+1⩾0x-y+1\geqslant0 得 y⩽x+1y\leqslant x+1. 因而
2x−3⩽x+12x-3\leqslant x+1
即 x⩽4x\leqslant4. 再由 y⩽x+1y\leqslant x+1 得
x+y⩽2x+1⩽9x+y\leqslant2x+1\leqslant9
当 x=4x=4，y=5y=5 时，三条约束分别为 16⩾016\geqslant0、0⩽00\leqslant0、0⩾00\geqslant0，故该点可行且 x+y=9x+y=9. 所以最大值为 99，故选 A. \end{solution}
A.
99
B.
157\frac{15}{7}
C.
11
D.
715\frac{7}{15}

2010 · 浙江 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08立体几何初步★★☆☆☆
若某几何体的三视图（单位：cm\mathrm{cm}）如图所示，则此几何体的体积是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 由三视图可知，该几何体由一个高为 2 cm2\mathrm{~cm}、底面边长为 4 cm4\mathrm{~cm} 的正方柱，和一个高为 2 cm2\mathrm{~cm}、上底边长为 4 cm4\mathrm{~cm}、下底边长为 8 cm8\mathrm{~cm} 的正方台组成.
正方柱的体积为
V1=42×2=32 cm3V_1=4^2\times2=32\mathrm{~cm}^3
正方台的上下底面积分别为 16 cm216\mathrm{~cm}^2 和 64 cm264\mathrm{~cm}^2，所以
V2=23(16+64+16×64)=23(16+64+32)=2243 cm3V_2=\frac{2}{3}\left(16+64+\sqrt{16\times64}\right) =\frac{2}{3}(16+64+32)=\frac{224}{3}\mathrm{~cm}^3
因此
V=V1+V2=32+2243=3203 cm3V=V_1+V_2=32+\frac{224}{3}=\frac{320}{3}\mathrm{~cm}^3
故选 B. \end{solution}
A.
3523 cm3\frac{352}{3} \mathrm{~cm}^3
B.
3203 cm3\frac{320}{3} \mathrm{~cm}^3
C.
2243 cm3\frac{224}{3} \mathrm{~cm}^3
D.
1603 cm3\frac{160}{3} \mathrm{~cm}^3

2010 · 浙江 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★★★☆
已知 x0x_0 是函数 f(x)=2x+11−xf(x) = 2^x + \frac{1}{1 - x} 的一个零点. 若 x1∈(1,x0)x_1 \in (1, x_0)，x2∈(x0,+∞)x_2 \in (x_0, +\infty)，则（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 因为 2x>02^x>0，当 x<1x<1 时又有 11−x>0\frac{1}{1-x}>0，所以零点只能满足 x0>1x_0>1. 对 x>1x>1，有
f(x)=2x−1x−1=2x(x−1)−1x−1f(x)=2^x-\frac{1}{x-1} =\frac{2^x(x-1)-1}{x-1}
令 g(x)=2x(x−1)g(x)=2^x(x-1). 则 g′(x)=2x((x−1)ln⁡2+1)>0g'(x)=2^x\bigl((x-1)\ln2+1\bigr)>0，（x>1x>1）， 所以 gg 在 (1,+∞)(1,+\infty) 上严格递增. 由 f(x0)=0f(x_0)=0 得 g(x0)=1g(x_0)=1. 因此，当 1<x1<x01<x_1<x_0 时 g(x1)<1g(x_1)<1，从而 f(x1)<0f(x_1)<0；当 x2>x0x_2>x_0 时 g(x2)>1g(x_2)>1，从而 f(x2)>0f(x_2)>0. 故选 B. \end{solution}
A.
f(x1)<0,f(x2)<0f(x_{1}) < 0, f(x_{2}) < 0
B.
f(x1)<0f(x_{1}) < 0，f(x2)>0f(x_{2}) > 0
C.
f(x1)>0f(x_{1}) > 0，f(x2)<0f(x_{2}) < 0
D.
f(x1)>0f(x_{1}) > 0，f(x2)>0f(x_{2}) > 0

2010 · 浙江 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10解析几何★★★★☆
设 OO 为坐标原点，F1F_1，F2F_2 是双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 （a>0a > 0，b>0b > 0）的焦点. 若在双曲线上存在点 PP，满足 ∠F1PF2=60∘\angle F_1PF_2 = 60^{\circ}，∣OP∣=7a|OP| = \sqrt{7}a，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 设 PF1=r1PF_1=r_1，PF2=r2PF_2=r_2，双曲线半焦距为 cc，则 c2=a2+b2c^2=a^2+b^2. 由 OP=7aOP=\sqrt7a 以及两焦点关于原点对称，得
r12+r22=2(OP2+c2)=14a2+2c2r_1^2+r_2^2=2(OP^2+c^2)=14a^2+2c^2
又因双曲线的定义，
∣r1−r2∣=2a|r_1-r_2|=2a
故
r1r2=r12+r22−4a22=5a2+c2r_1r_2=\frac{r_1^2+r_2^2-4a^2}{2}=5a^2+c^2
在三角形 F1PF2F_1PF_2 中， F1F2=2cF_1F_2=2c，且 ∠F1PF2=60∘\angle F_1PF_2=60^{\circ}. 由余弦定理，
4c2=r12+r22−2r1r2cos⁡60∘=r12+r22−r1r2=9a2+c24c^2=r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cos60^{\circ} =r_1^2+r_2^2-r_1r_2 =9a^2+c^2
所以 c2=3a2c^2=3a^2，从而 b2=c2−a2=2a2b^2=c^2-a^2=2a^2，即 ba=2\frac ba=\sqrt2. 双曲线的渐近线为 y=±bax=±2xy=\pm\frac ba x=\pm\sqrt2x，即 2x±y=0\sqrt2x\pm y=0，故选 D. \end{solution}
A.
x±3y=0x \pm \sqrt{3} y = 0
B.
3x±y=0\sqrt{3} x \pm y = 0
C.
x±2y=0x \pm \sqrt{2} y = 0
D.
2x±y=0\sqrt{2} x \pm y = 0

2010 · 浙江 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11概率与统计★☆☆☆☆
在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是______，______.
甲乙
919\quad 13555\quad 5
252\quad 5488，22，66
77，88，555353\quad 5
66677
\begin{answer} 4545，4646 \end{answer}
\begin{solution} 甲组数据共有 99 个，按从小到大排列为 2828，3131，3939，4242，4545，5555，5757，5858，6666. 所以甲组的中位数是第 55 个数，即 4545. 乙组数据按从小到大排列为 2929，3535，3535，4242，4646，4848，5353，5555，6767. 所以乙组的中位数是第 55 个数，即 4646. \end{solution}

2010 · 浙江 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12三角函数★☆☆☆☆
函数 f(x)=sin⁡2(2x−π4)f(x) = \sin^2\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) 的最小正周期是______.
\begin{answer} π2\frac{\pi}{2} \end{answer}
\begin{solution} 利用恒等式 sin⁡2t=1−cos⁡2t2\sin^2t=\frac{1-\cos2t}{2}，有
f(x)=1−cos⁡(4x−π2)2f(x)=\frac{1-\cos\left(4x-\frac{\pi}{2}\right)}{2}
余弦函数的最小正周期为 2π2\pi，所以要求 4T=2π4T=2\pi，得到 T=π2T=\frac{\pi}{2}. 该周期由余弦函数的最小正周期得到，因而是最小正周期. \end{solution}

2010 · 浙江 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13平面向量★★☆☆☆
已知平面向量 α\alpha，β\beta 满足 ∣α∣=1|\alpha| = 1，∣β∣=2|\beta| = 2，α⊥(α−2β)\alpha \perp (\alpha - 2\beta)，则 ∣2α+β∣|2\alpha + \beta| 的值是______.
\begin{answer} 10\sqrt{10} \end{answer}
\begin{solution} 由 α⊥(α−2β)\alpha\perp(\alpha-2\beta)，得
α⋅(α−2β)=0\alpha\cdot(\alpha-2\beta)=0
代入 ∣α∣=1|\alpha|=1，可得 1−2α⋅β=01-2\alpha\cdot\beta=0，α⋅β=12\alpha\cdot\beta=\frac12. 于是
∣2α+β∣2=4∣α∣2+4α⋅β+∣β∣2=4+4×12+4=10|2\alpha+\beta|^2 =4|\alpha|^2+4\alpha\cdot\beta+|\beta|^2 =4+4\times\frac12+4=10
长度非负，所以 ∣2α+β∣=10|2\alpha+\beta|=\sqrt{10}. \end{solution}

2010 · 浙江 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14数列★★☆☆☆
在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列. 那么，位于表中的第 nn 行第 n+1n + 1 列的数是______.
\begin{answer} n2+nn^2+n \end{answer}
\begin{solution} 记表中第 ii 行第 jj 列的数为 aija_{ij}. 由第一列可知 ai1=ia_{i1}=i，由第二列可知 ai2=2ia_{i2}=2i. 由于第 ii 行成等差数列，该行公差为
ai2−ai1=2i−i=ia_{i2}-a_{i1}=2i-i=i
因此
aij=ai1+(j−1)i=i+(j−1)i=ija_{ij}=a_{i1}+(j-1)i=i+(j-1)i=ij
所以第 nn 行第 n+1n+1 列的数为
an,n+1=n(n+1)=n2+na_{n,n+1}=n(n+1)=n^2+n
\end{solution}

2010 · 浙江 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15不等式★★★☆☆
若正实数 xx，yy 满足 2x+y+6=xy2x + y + 6 = xy，则 xyxy 的最小值是______.
\begin{answer} 1818 \end{answer}
\begin{solution} 由题设
xy−2x−y=6xy-2x-y=6
所以
(x−1)(y−2)=8(x-1)(y-2)=8
若 0<x<10<x<1，则 −1<x−1<0-1<x-1<0，从而 y−2=8x−1<−8y-2=\frac{8}{x-1}<-8，即 y<−6y<-6，与 y>0y>0 矛盾；x=1x=1 也不满足 (x−1)(y−2)=8(x-1)(y-2)=8. 因此 x>1x>1，从而 y−2=8x−1>0y-2=\frac{8}{x-1}>0. 令 u=x−1>0u=x-1>0，v=y−2>0v=y-2>0，则 uv=8uv=8，且
xy=(u+1)(v+2)=uv+2u+v+2=10+2u+vxy=(u+1)(v+2)=uv+2u+v+2=10+2u+v
由均值不等式，
2u+v=2u+8u⩾82u+v=2u+\frac{8}{u}\geqslant8
等号当且仅当 u=2u=2，即 v=4v=4. 因此 xy⩾18xy\geqslant18. 当 x=3x=3，y=6y=6 时满足原条件且 xy=18xy=18，所以最小值为 1818. \end{solution}

2010 · 浙江 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16不等式★★★☆☆
某商家一月份至五月份累计销售额达 3860 万元，预测六月份销售额为 500 万元. 七月份销售额比六月份递增 x%x\%，八月份销售额比七月份递增 x%x\%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等. 若一月至十月份销售总额至少达 7000 万元，则 xx 的最小值是______.
\begin{answer} 2020 \end{answer}
\begin{solution} 设 t=1+x100t=1+\frac{x}{100}. 则七月份和八月份的销售额分别为 500t500t 万元和 500t2500t^2 万元，九、十月份销售总额为 500t+500t2500t+500t^2 万元. 因而一月至十月份的销售总额为
3860+500+2(500t+500t2)=4360+1000t+1000t23860+500+2(500t+500t^2)=4360+1000t+1000t^2
由总额至少为 70007000 万元，得
25t2+25t−66⩾025t^2+25t-66\geqslant0
因 t>0t>0，解得
t⩾65t\geqslant\frac65
所以 1+x100⩾651+\frac{x}{100}\geqslant\frac65，x⩾20x\geqslant20. 当 x=20x=20 时恰好达到下界，故 xx 的最小值为 2020. \end{solution}

2010 · 浙江 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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17平面向量★★★★☆
在平行四边形 ABCDABCD 中，OO 是 ACAC 与 BDBD 的交点，PP，QQ，MM，NN 分别是线段 OAOA，OBOB，OCOC，ODOD 的中点. 在 AA，PP，MM，CC 中任取一点记为 EE，在 BB，QQ，NN，DD 中任取一点记为 FF. 设 GG 为满足向量 OG→=OE→+OF→\overrightarrow{OG} = \overrightarrow{OE} + \overrightarrow{OF} 的点，则在上述的点 GG 组成的集合中的点，落在平行四边形 ABCDABCD 外（不含边界）的概率为______.
\begin{answer} 34\frac{3}{4} \end{answer}
\begin{solution} 以 OO 为原点，设 OA→=a\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}， OB→=b\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b}. 由于平行四边形的对角线互相平分， OC→=−a\overrightarrow{OC}=-\boldsymbol{a}，OD→=−b\overrightarrow{OD}=-\boldsymbol{b}. 所以 EE 对应的系数只能是 11，12\frac12，−12-\frac12，−1-1，即 OE→=sa\overrightarrow{OE}=s\boldsymbol{a}，其中 s∈{1,12,−12,−1}s\in\left\{1,\frac12,-\frac12,-1\right\}. 同理 OF→=tb\overrightarrow{OF}=t\boldsymbol{b}，其中 t∈{1,12,−12,−1}t\in\left\{1,\frac12,-\frac12,-1\right\}. 因而
OG→=sa+tb\overrightarrow{OG}=s\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{b}
在基底 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 下，平行四边形 ABCDABCD 的四个顶点为 (1,0)(1,0)，(0,1)(0,1)，(−1,0)(-1,0)，(0,−1)(0,-1)，其内部及边界为 ∣s∣+∣t∣⩽1|s|+|t|\leqslant1. 当且仅当 ∣s∣=∣t∣=12|s|=|t|=\frac12 时，∣s∣+∣t∣=1|s|+|t|=1，对应 2×2=42\times2=4 个选择，所得点在边界上，不计入外部. 其余 16−4=1216-4=12 个选择满足 ∣s∣+∣t∣>1|s|+|t|>1，所得点在平行四边形外部.
因此所求概率为
1216=34\frac{12}{16}=\frac34
\end{solution}

2010 · 浙江 · 文 · 第 17 题 · 填空题

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18三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc. 设 SS 为 △ABC\triangle ABC 的面积，满足 S=34(a2+b2−c2)S = \frac{\sqrt{3}}{4}(a^2 + b^2 - c^2).
(1) 求角 CC 的大小； (2) 求 sin⁡A+sin⁡B\sin A + \sin B 的最大值.

2010 · 浙江 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★☆☆
设 a1a_1，dd 为实数，首项为 a1a_1，公差为 dd 的等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，满足 S5S6+15=0S_5S_6 + 15 = 0.
(1) 若 S5=5S_5 = 5，求 S6S_6 及 a1a_1； (2) 求 dd 的取值范围.

2010 · 浙江 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★★☆
如图，在平行四边形 ABCDABCD 中，AB=2BCAB = 2BC，∠ABC=120∘\angle ABC = 120^{\circ}. EE 为线段 ABAB 的中点，将 △ADE\triangle ADE 沿直线 DEDE 翻折成 △A′DE\triangle A'DE，使平面 A′DE⊥A'DE \perp 平面 BCDBCD，FF 为线段 A′CA'C 的中点.
(1) 求证：BF∥BF \parallel 平面 A′DEA'DE； (2) 设 MM 为线段 DEDE 的中点，求直线 FMFM 与平面 A′DEA'DE 所成角的余弦值.

2010 · 浙江 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=(x−a)2(x−b)f(x) = (x - a)^2(x - b) （aa，b∈Rb \in \mathbf{R}，a<ba < b）.
(1) 当 a=1a = 1，b=2b = 2 时，求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (2,f(2))(2, f(2)) 处的切线方程； (2) 设 x1x_1，x2x_2 是 f(x)f(x) 的两个极值点，x3x_3 是 f(x)f(x) 的一个零点，且 x3≠x1x_3 \neq x_1，x3≠x2x_3 \neq x_2. 证明：存在实数 x4x_4，使得 x1x_1，x2x_2，x3x_3，x4x_4 按某种顺序排列后成等差数列，并求 x4x_4.

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22解析几何★★★★☆
已知 mm 是非零实数，抛物线 C:y2=2pxC: y^{2} = 2px （p>0p > 0） 的焦点 FF 在直线 l:x−my−m22=0l: x - my - \frac{m^{2}}{2} = 0 上.
(1) 若 m=2m = 2，求抛物线 CC 的方程； (2) 设直线 ll 与抛物线 CC 交于 AA，BB 两点，过 AA，BB 分别作抛物线 CC 的准线的垂线，垂足为 A1A_{1}，B1B_{1}，△AA1F\triangle AA_{1}F，△BB1F\triangle BB_{1}F 的重心分别为 GG，HH. 求证：对任意非零实数 mm，抛物线 CC 的准线与 xx 轴的交点在以线段 GHGH 为直径的圆外.

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